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Peano公理是一個和自然數集合相關的公理,用這些公理可建構出具有一般熟悉性質的自然數集合

內容

$ \mathbb{N} $為自然數集合,若它具備以下特質:

  • 存在一個元素$ e $,使得$ e \in \mathbb{N} $,意即$ e $是自然數。
  • 對於所有的$ x \in \mathbb{N} $,存在一個唯一的元素$ x^+ \in \mathbb{N} $,使得$ x $$ x^+ $相對應,如此的$ x^+ $稱為$ x $的後繼。
  • 對於任意的$ x \in \mathbb{N} $$ x^+ \ne e $
  • 對於任意的$ x,y \in \mathbb{N} $,若$ x^+ = y^+ $$ x = y $
  • 數學歸納法:若P(m)是一個關於自然數的命題,則每當命題對$ P(e) $成立,且對任意的$ n \in \mathbb{N} $時,$ P(n) $成立可推出$ P(n^+) $成立時,則$ P(m) $對於任意的$ m \in \mathbb{N} $都成立

另以下是對於$ \mathbb{N} $中「相等」這概念的定義:

  • 對於任意的$ x \in \mathbb{N} $$ x = x $
  • 對於任意的$ x \in \mathbb{N} $,若$ x = y $,則$ y = x $
  • 對於任意的$ x \in \mathbb{N} $,若$ x = y $$ y = z $,則$ x = z $
  • $ x \in \mathbb{N} $$ x = y $,則$ y \in \mathbb{N} $,意即若x和y相等,且x為自然數,則y亦是自然數。

若0被視為自然數,則$ e = 0 $;若0不被視為自然數,則$ e = 1 $,兩種狀況下所定義的加法和乘法,會有一些差異。

參見

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