FANDOM


令人惊奇地是一系列重大数论问题可以联合表示成为理论物理学理论。

本文被台湾和日本媒体广泛转载

【空间的维度】

http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=62446

中国科学院智慧火花【-在多维空间如何定位】

http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=70833

前言

大自然的运行有两种模式,一种是由一到多,例如树木由一根主干生长到很多树枝树叶,人类祖先最开始只有亚当和夏娃再到数千人到现在70亿;另一种是由多到一,例如千万的山间小溪汇集江河最后到海,再一个就是人类的知识,由多学科多门类融合到一个总理论。

科学最让人不可思议的是它的融合,无数自然现象可以归结为物理学、化学、生物学、....。

今天的文章注定是一个载入史册,它是人类思维的辉煌壮举,它把数学中最经典的哥德巴赫猜想、费马大定理、黎曼猜想、欧拉公式和广义相对论量子理论的m理论融合在一个模型里。

从四色定理开始

法兰西斯·古德里于1831年生于伦敦,在1852年提出的猜想,只需要四种颜色为地图着色。这是因为他发现在平面上或者球面上,只能有4个区域两两相连,英国数学家德摩根证明了平面上不存在5个区域两两相连。

1974年德国的林格和美国的杨斯证明了在曲面上染色定理,例如,在一个汽车轮胎形状的环面需要7种颜色,因为可以构造7个两两相连的区域,6种颜色肯定不够的;在有两个洞的双环面需要8种颜色,因为可以构造8个两两相连的区域,7种颜色肯定不够的;....。

数学家证明了可以构造无穷多个两两相连的区域

如果你不能理解,让我慢慢道来: 现在有两根管子,一个记为1,一个记为2,它们代表两个区域。我们假定所有的管子都是可以随意拉伸和弯曲的。

现在我们使用霍奇猜想的方法——粘贴:把两根管子端端相连,就是一个汽车轮胎一样的环,它有两个区域,我们再用一根直管子记为3,安在这个环的中间,一头连着区域1,一头连着区域2,现在它是有两个洞的双环了,有三个区域两两相连。

V2-4ba7fcdba0dffb07dabd76446e16e0db hd

现在我们用一个“丁”字型的三叉管,记为区域4,三个端口分别与区域1,区域2,区域3 相连。于是现在有4个区域两两相连;

我们再用一根四叉管记为区域5, 有4个端口分别与区域1,2,3,4相连,现在有5个区域两两相连。

这个步骤可以无限制进行下去,用五叉管,六叉管,...。构造无穷多个区域,它们都是两两相连的。 数学家和物理学家把这个叫做岐管。

数论与图论联系起来

在数论中,最重要的元素就是素数,欧几里得证明了有无穷多个素数,并且它们有一个特点就是两两互素。无穷多个两两互素的素数与无穷多个两两相连区域一一对应。 就是说用这个方法把数论与图论联系起来,这个方法的意图叫做朗兰兹纲领。

区域1,代表第一个素数2,第二个区域代表第二个素数3,...,第n个区域代表第n个素数。 我们把这个岐管倒过来,就像一个网子,篮球网子。篮球网子是把篮球往里面投。

公元前300年古希腊有一个数学家叫做埃拉特斯特尼,他把这个网子当成筛子,把自然数往里面扔,他说凡是合数通过筛子以后就会从网子里面筛掉,留下的是素数,这个就是著名的埃拉特斯特尼筛法。


与哥德巴赫猜想联系起来

我们上面这个岐管筛子是把偶数往里面扔,哥德巴赫说,大于4的偶数一个也不会漏出筛子,除了6=3+3以外,其他偶数都是可以在不同的素数区域被拦截。例如8会在区域2也就是素数3和素数5(第三个区域)被拦截;偶数10会在素数3和素数7的两个区域之间被拦截;...。总之,无穷多个偶数都逃不脱这个网子,没有一个偶数可以漏到外面去。

V2-812a29ee44b0bb54d5951350722f03b5 hd

素数筛子

哥德巴赫猜想与费马大定理联系起来了

看到没有?数论与图论已经融合一起了。 这个还不算神奇,这个岐管的内部空间我们记为X,外部空间记为Y,它有很多洞,可以有无穷多个洞,可以有无穷多个空间维度n,宇宙内外整体记为1,就是说 Xⁿ+Yⁿ=1,这个叫做费马曲线,它是由费马大定理Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ同时除以Cⁿ得到的。 费马大定理与哥德巴赫猜想联系起来了。

这个岐管就是m理论的架构

物理学家认为,宇宙是10维空间或者11维空间,或者26维空间等5个版本。还有物理学家认为有无穷多个维度的空间。他们管这个理论叫做玄理论或者M理论,是把广义相对论与量子理论结合一起的终极理论,霍金说是最后的理论。

m理论图


与黎曼猜想联系起来了

数学家考虑的是怎样计算这个岐管上的区域或者计算区域上面的一个点。如果岐管上某一个区域 n,在n上的一个点是1/n,因为这个岐管有无穷多个维度,或者很多维度,我们要定位这个点,就要考虑它的管壁——实部,还有考虑它的内外空间位置——虚部。 所以,这个点(参见右边公式)

V2-8dba82091114002ddde52349e3a39734 hd


,S=α+βi。 i是虚数,α表示实部,实部当然是1/2,因为这个多维宇宙等于1,岐管属于实部,实部上的点当然是1/2。这个正是黎曼函数黎曼猜想(参见:黎曼公式)

黎曼公式(参见右边公式)

V2-2e8f56ef264d1e0cb606d92488b98bf8 hd

,我们随意在岐管上画出一条线,都需要黎曼猜想计算。 物理学里,真空是能量的“零点”。

黎曼猜想与物理学和费马大定理联系起来了。

有人说,黎曼猜想的直接目标比较狭隘,仅限于数论,就算黎曼直接解决了他自己提出的猜想,这个成就的重要性还比不上他的非欧几何和复Riemman面 这两个成就。如果黎曼猜想用于理论物理,就远远超过非欧几何与复Riemman面。还有人说,庞加莱猜想的直接目标也比较狭隘,仅限于拓扑,但拓扑的重要性要高于数论。当然不排除黎曼猜想在解题的过程中得到重要的几何或拓扑构造 。还说解决庞加莱猜想没有带来通用拓扑构造令人遗憾,因为它比黎曼猜想更有机会。现在大家看到了黎曼猜想直接渗透到几何拓扑。

与欧拉公式联系起来了

虚部怎么计算呢?岐管内部看成一个圆管,在岐管上的一个点1/K^S,做一个截面,就是一个圆。大家知道欧拉公式吗? 参见右边:欧拉公式

V2-5b46f43f932298f1b7f7aac12fe8d6d7 hd

以e^0=1开始,

164403ebzdettkehpedd8t

以相对速度π,走了i时间(参见百度百科“虚时间”),再加1,回到原点。

欧拉公式解析

我们设岐管上的点1/K^S为Δ,那么,e^Δi=-1。 包含了时间(时间有虚的涵义)和空间。

虚时间

虚时间是为了对应时间起点(大爆炸)而定义的一个概念。在虚时间这个概念体系里,在比三维更高的维度空间,时间并不是一条直线,而是一个闭合的圆,没有起始也没有终结,宇宙的起点如果源自大爆炸,那在此之前的时间将无法定义。因此,为了解决奇点之前时间应该如何,我们引用到了复数的概念。

欧拉公式在2011年被评为世界上最美的10个公式之首。

我们的宇宙是由数学最经典的问题和物理学最经典的问题组成的。

与爱因斯坦质能公式联系起来

弦理论认为

从更宏观的角度看,比如万亿年角度看,我们的宇宙就像在一张纸一样薄的膜片或者肥皂泡膜上,光无法逃逸出膜,被限制在膜上,但是引力可以穿越宇宙的膜向外传播,弦理论假定宇宙中的所有粒子都被局限在一个四维的膜宇宙中,而膜宇宙又漂浮在一个更高的维度体宇宙里,,不过,几种特殊粒子可以从膜宇宙中穿入穿出,其中最出众的就是引力和惰性中微子。上面的膜宇宙,对于膜,是一种没有厚度的东西,但是有一个曲面,这是有面积的,设为c,膜包含了质量和能量。E=mc^2。爱因斯坦方程中式中E为能量,m为质量,c为光速。它是一切物质运动速度的最大极限。这个公式就是爱因斯坦质能方程式。在膜宇宙中,光速只能绕着膜运行,膜的表面积就是光速扫过的面积。因此,c^2=E/m。

20世纪90年代的膜理论认为,人们直接观测所及的好似无边的宇宙是十维时空的一个四维超曲面,就像薄薄的一层膜,弦理论使得一些原本难以计算的东西可以用弦理论工具来做严格计算了,膜理论是弦理论的第十维空间方向,其最大维度是11维。

我们把爱因斯坦方程也引进了。我们生活在费马大定理的空间,出门旅行(星际)需要黎曼猜想和欧拉公式计算路程,穿过哥德巴赫猜想的虫洞。 我们生活在高维宇宙的一小片中,大到银河宇宙,小至原子夸克,都是 弦线构成的。原来,不仅仅自旋和同位旋等内部变量和内部空间都出自这些多维空间的几何学,而且粒子的电荷质量等性质,无一不是从这里产生出来的,不仅仅如此,甚至我们生活本身也通过三维空间和一维时间都是从类似的几何体的构造中生长出来的。 人们发现的问题四色定理哥德巴赫猜想费马大定理黎曼猜想欧拉公式自然而然与爱因斯坦质能方程广义相对论量子理论全部融合一体了。

多維空間是如何構造的——弦/M理論

          (参见中国科学院智慧火花物理学栏目:空间的维度)

          摘要:有人認為,物理理論必須反應實際世界的運行。這是否是說物理模型完全由實驗決定? 然而,目前的M理論就不是由實驗建立的。儘管標準模型能解釋很多東西,但是物理學家完全靠實驗來建立統一廣義相對論和量子力學的模型基本上是不可能的,因為實驗室的高能限制是非常明 顯的。實驗不可能獲取大爆炸的高能條件,即使滿足弦論最低要求能量條件都幾乎不可能。按當代趨勢,理論物理最終會融入幾何拓撲的熔爐中成為一體,也就 是,理論物理就是新幾何。新幾何學統一相對論與量子力學。超弦與M理論只是一個極其粗糙的過渡。目前物理學家對高維空間的驅動需求遠超數學家。

          關鍵字:多維空間

前言

        當今世界科學,最激動人心的科學理論就是弦/M理論,弦/M理論最核心的內容就是多維空間。目前為止,世界上沒有一個理論說清楚四維和四維以上的空間幾何架構原理,數學家和物理學家都沒有搞清楚。  

        物理學中同時存在兩個正確而互相矛盾的理論模型,這不是自然界的錯,而是物理學迷失了方向。引力能否量子化,暗物質與能量能否解釋, 黑洞內部能否探查和多宇宙的存在性,實驗無法達到目標。這些迷失的東西唯有靠數學尤其是幾何才能找到。

        物理模型的衝突在於我們幾何理論的缺陷,在連續的統一場中如何實現規範場的離散的幾何量子化和拓撲化是關鍵。如果新幾何構造不能完全弄出來,物理學家不可能從理論上解決 他們的主要問題。  

                眾所周知,如果要做加法或者減法,首先必須知道什麼是數和數量,如果沒有對數量的定義,就沒有加法或者減法的運算;同樣道理,沒有對空間維度的正確定義,就談不上一個理論建立在維度之上。

    四維和四維以上空間不是象三維空間和二維平面以及一維那樣屬於原始概念,而是後繼出現的概念。後繼概念就必須依據三維和三維以下的空間概念來定義,而空間和時間的座標必定要寫進物理學方程裏,所以必須做出嚴格和科學的定義,不能糊弄過去。

    而M理論就建立在多維空間的構造上,數學家和物理學家卻不能給出多維空間構造的幾何原理,弦理論目前就是建立在一個空殼上。

為什麼會有不同維度的理解

在人所熟悉的三維空間裏,有三對主要方向:上下(高度),南北(緯度),東西(經度)。座標是三條直線經過同一個點以後,朝三個方向的兩兩相交,也就是說,它們兩兩成直角。從數學方面講,它們在三條不同的坐標軸 x、y、z上。        如果要有四維空間座標,必須另有一條垂直於其他三個主要方向的線條,通常稱作w軸,但是,由於360度窮盡了二維,w軸如果需要存在,必然要重疊在三維之上。

三维空间維度是怎麼得來的

     1,  在算術加法中,個位滿了就進一位到十位位置上。而空間維度增加卻不是這樣。    

     2, 當數學家用圓把周圍封閉起來的平面採用360度計量單位表示,再用一條直線穿過圓心就平分了圓,一個圓的一半就是180度,用90度垂直這條直線就可以刻畫整個平面,平面座標可以說清楚平面上的一切。笛卡爾在【幾何學】中通過選定一條射線作為基線建立了傾斜坐標系,用兩個座標x,y表示平面上的位置。高斯是第一個正確解釋了二維圖像座標的數學家。  

     3,把坐標系幾何推廣到三維空間是拉.希爾,他在1679年的論文中,用三個座標表示空間的點,並且給出了三個表示空間的點。

    他從平面圓心發出一條垂直於平面的射線,形成了一個立體的三維座標,經過圓心的無窮多個平面可以構成一個東西,我們叫做球。三維空間可以窮盡我們可以觀察到的整個空間。如果有人說我在球外面加一個東西,那是沒有意義的,因為球外面的東西依然可以納入球內,我們的三維空間的球是開放的,沒有邊界的。

Images
   


     4,當我們看到一條直線,我們可以理解這條直線向周圍擴展是三維的,龐加萊猜想就是基於三維空間,1904年,法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想:  任何一個單連通的,封閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。    

三維空間座標是由一個點發出的三條兩兩垂直的射線,他們有一個重要特徵就是:

第一,兩兩相連和互相垂直;

第二,不能重疊。  

5,皮耶羅將三維物體透視畫法在二維平面上,但是,到了四維、五維、....高維是無法用透視法畫出來的,高維的圖像必須依賴霍奇猜想的方法:粘貼。    一個點狀物體,在空間維度上沒有延伸,因此空間維度為零,能夠在三維空間自由移動;一根玄它有一個空間維度,能夠在比自身有更多維度的空間移動。      

6,人們無法理解四維、五維、....、無窮多維的世界。因為360度平面正好是兩個維度,不可能再插入一個維度,一個球體的中心只能發出三條兩兩相連互相垂直的射線,如果非要再增加一條射線,就會擠壓原來的空間,座標就不是90度的架構。     在物理學理論中,包含一個可以自洽的程式,這個表示數量關係的程式同經驗事實必須有一個可以接受的聯繫。    就連數學家和物理學家也沒有辦法說清楚。實際上數學家和物理學家也不清楚多維空間的幾何本質是什麼,他們也還在朦朧中糾結。

什麼是三維以上的空間

   上面我們已經說了  三維空間基於兩條重要原則: 第一,座標三條射線兩兩相連互相垂直。 第二,“同一維度不能重疊”。

   為什麼必須兩兩相連?

   在一個座標上,如果不能與所有的空間維度兩兩相連,只與其中的某些維相連,那麼只是與之相連的那一些維度的延伸。而不是新增加的維度。

      現在關鍵的問題來了,如果我們構造四維空間,就必須修改前面的兩條規則:

      第一,允許一個東西不是從圓心出發,只是與三維座標的每一射線兩兩相連,互相垂直或者不互相垂直。

      第二,允許這個東西與某一個維度重疊,於是,我們稱之為第四維。 為什麼要修改呢? 因為我們沒有兩兩相連的連線,就不能添加新的維度,只能算是“新的東西”,如果新的座標通過圓心,就破壞了原來的三維空間90度的基本面。所以,我們既要把新的座標線通過與已經有的座標兩兩相連建構新的座標元素,允許重疊增加維度,有重疊的空間必然是彎曲的。


用圖來說明什麼是四維空間

一個有兩個洞的油餅一樣的雙環,有三條管兩兩相連和兩個洞的東西,安上一個三叉(通)管,三叉管騎跨兩個洞,三個端口分別連接雙環三通管 ,就是四維了,因為這個東西在三維空間看無論從哪個方向都是有了重疊。  (參見右圖) 圖1是一個雙環,它是三維的,圖2是一個三叉管,也是三維的,圖3是將三叉管安在(粘貼)在雙環上,就是四維空間了。就是說,無論從三維的哪一個方向看,都有重疊。

圖4是五維空間。

图片2

圖4是在四維空間基礎上加了一個四叉管(綠色的是四叉管),它是五維空間。我們可以不斷增加n個叉管來增加空間的維度。         

多維空間是如何構造的

     五維空間就是在四維空間基礎上,加一個四叉管(上面圖綠色四叉管)騎跨在雙環上,三個端口與雙環的三條管相連,還有一個端口與三叉管相連。  

     多維空間的構造思想是:用增加兩兩相連的管道增加維度,重疊在三維空間外層,形成了多維空間。使得三維外面的東西無法納入三維球內,不得不用四維和更多維表示。    

     構造方法是著名的霍奇猜想的方法。複雜的高維空間由簡單的三維空間粘合在一起。六維空間就是在五維空間基礎上加一個五叉管,每一個端口與其他管相連。

图片3

六維空間就是再加一個五叉管(黑色的五叉管),有三層重疊

在探索高維空間的過程中,1954年,義大利著名幾何學家卡拉比在國際數學家大會上提出了一個猜想:複雜的高維空間是由多個簡單的多維空間“粘”在一起,因為對於簡單的多維空間,目前有成熟的數學工具能夠將其進行解析,如果高維空間能夠被拆解,也就意味著高維空間可通過一些簡單的幾何模型拼裝得到。這就是著名的“卡拉比猜想”——關於複幾何領域高維空間的單值化猜想,同時這也是求證高維空間上“卡勒—愛因斯坦度量”存在的猜想。

n維空間就是有n-3個重疊。

10维空间(参见右图)

图片4

以此類推,可以構造無窮多個維度的空間。右图是10維空間的圖形構造。

十维

右中图是物理学家想象的10维空间图

右下图是一個中國物理學老師在給學生講課,介紹26維空間的推導。

幾何的洞察力比代數天賦更寶貴。


26维

       我們生活在高維宇宙的一小片中,大到銀河宇宙,小至原子誇克,都是 弦線構成的。 弦/m理論的11維空間裏,有4維空間的伸展,7維空間卷縮起來的。幾何體的拓撲性質同粒子緊密相關。例如,這種粒子幾何體有幾個洞,決定著粒子世代的數目,在這些卷縮維度的空間裏所採取的幾何構型決定著弦或者膜能夠有什麼樣的震動模式,從而決定著各種粒子的品質、自旋、以及電荷等各種相互作用的耦合常數。  

              原來,不僅僅自旋和同位旋等內部變數和內部空間都出自這些多維空間的幾何學,而且粒子的電荷品質等性質,無一不是從這裏產生出來的,不僅僅如此,甚至我們生活本身也通過三維空間和一維時間都是從類似的幾何體的構造中生長出來的。

目前的M理論就不是由實驗建立的

儘管標準模型能解釋很多東西,但是物理學家完全靠實驗來建立統一廣義相對論和量子力學的模型基本上是不可能的,因為實驗室的高能限制是非常明 顯的。實驗不可能獲取大爆炸的高能條件,即使滿足弦論最低要求能量條件都幾乎不可能。 目前數學和物理關係正反映了現代數學缺陷,特別量子領域與康托爾連續統和拓撲結構有密切關係。現代理論物理已經淪為數學遊戲,而m理論的數學寄希望通過理論物理來解決。物理只提供實例,數學的基本構造必須源於自身。

有專家認為,幾何充滿宇宙和物體變化,它與物理緊密相連,不可分離。有很多人認為物理是應用科學或幾何應用典範。物理的理論不能簡單歸於應用,隨著物理發 展,物理逐漸幾何化,幾何開始能解釋它對基本概念、相對論中黎曼幾何和量子力學中的希爾伯特空間和群和拓撲,現在超弦更是幾何主 導。物理與幾何不是應用關係那麼簡單,只是現在的幾何內容還不能將所有物理概念納入自己的解釋,否則幾何完全從腳到頭完全主宰物理。 在物理,幾何,代數的關係中,幾何處於中心,代數是幾何需要的工具,而物理的工具是幾何。

威騰等人為什麼被迫成為數學家的原因,因為數學家沒有辦法給他們提供更強的工具去支持物理進步,也就是說數學的進展落後於物理的要求。當今就是一個數學的進 展落後於物理的要求的時期。

日本转载

除了特别提示,社区内容遵循CC-BY-SA 授权许可。