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'''整數'''是自然數的延展,可記作<math>\mathbb{Z}</math>,包括所有的正數與負數及[[0]],是數論重要的研究對象之一。 整數集合是為一[[可數集]],元素個數為無限,雖然看起來有些詭異,但整數集合的元素個數和自然數一樣多。 ==性質== 以下<math>+</math>為通常意義的加法的符號,<math>*</math>為通常意義的乘法的符號。 *對任意整數<math>a</math>與<math>b</math>而言,<math>a + b</math>之和、(<math>a - b</math>之差)與<math>a*b</math>之積亦為整數 *沒有最小和最大的整數,對任意整數<math>a</math>而言,存在整數<math>b</math>和<math>c</math>,使得<math>c < a < b</math> *對於任意整數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言,<math>a*b + c = (a*b) + c</math>。括弧內的式子為先運算之式子,以下亦然。 *對於任意整數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言,<math>(a + b) + c = a + (b + c)</math>;<math>a + b = b + a</math>(加法的交換律與結合律) *對任意整數<math>a</math>而言,<math>a + 0 = 0 + a = a</math> *對任意整數<math>a</math>而言,存在一個整數<math>(-a)</math>,使得<math>a + (-a) = (-a) + a = 0</math> *對任意整數<math>a</math>與<math>b</math>而言,<math>a - b = a + (-b) = (-b) + a</math> *對於任意整數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言,<math>(a*b)*c = a*(b*c)</math>;<math>a*b = b*a</math>(乘法的交換律與結合律) *對於任意整數<math>a</math>而言,<math>a*1 = 1*a = a</math> *對於任意整數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言,<math>(a + b)*c = a*c + b*c</math>;<math>c*(b + a) = c*b + c*a</math>(分配律) *對任意整數<math>a</math>與<math>b</math>而言,若<math>a \ne 0</math>且<math>b \ne 0</math>,則<math>a*b \ne 0</math>;若<math>a</math>或<math>b</math>有一為[[0]],或兩者皆為零,則<math>a*b = 0</math>。此處的<math>\ne</math>表「不等於」之意。 *對任意整數<math>a</math>與<math>b</math>而言,<math>a > b</math>、<math>a < b</math>或<math>a = b</math>這三關係間必有且僅有一個成立。 *對於任意自然數<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>而言,若<math>a \le b</math>且<math>c > 0</math>,則<math>a*c \le b*c</math>;若<math>a \le b</math>且<math>c < 0</math>,則<math>a*c \ge b*c</math>;若<math>d</math>為一整數且有<math>a \le b</math>和<math>c \le d</math>,則有<math>a + c \le b + d</math> *對任意整數<math>a</math>與<math>b</math>而言,若<math>a > b</math>,則存在兩可能為0亦可能不為0的整數<math>c</math>和<math>r</math>,使得<math>a = b*c + r</math>,在此一般都取<math>b > r \ge 0</math>。 由此可見,整數對於通常意義的加法和乘法構成一[[環 (抽象代數)|環]],且為一[[整環]],整環之名其實也是因整數而來。 ==參見== *[[自然數]] *[[數論]] *[[幾何]] *[[整環]] *[[高斯整數]] [[Category:算术]] [[en:integer]] [[ru:Целая_часть]]
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