向量

说明：这里介绍的向量是三维空间的向量，如想了解二维向量，请前往平面向量（平面几何）；想了解高维向量，前往高维向量（线性代数）。

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

---

向量（vector）是空间中重要的元素，它可以将代数运算直接引入几何中，是线性空间的几何基础。

概念及表示

空间中向量又称矢量，它是指有大小和方向的量。通常，我们可以用加粗的小写字母（印刷体）或小写字母上加右箭头来表示，如 $\mathbf{v}, \vec{a}$，一个向量也可以用有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 来表示，向量的大小用这条线段的长度 $|AB|$ 表示，向量的方向用 $A$ 到 $B$ 的指向表示。

显然我们可以知道两个向量相等当且仅当它们的大小和方向相等，而与位置无关。如果两个向量在经过平移后重合，我们就可断言这两个向量相等。

向量 $\vec{a}$ 的大小也叫做向量 $\vec{a}$ 的长度，或向量 $\vec{a}$ 的模（长），记为 $|\vec{a}|$。

特别的，我们把长度为零的向量称为零向量，记为 $\mathbf{0}$ ，手写体记为 $\vec{0}$，零向量不定义方向，或者说，零向量的方向是任意的；我们把长度为 $1$ 的向量称为单位向量，与 $\vec{a}$ 同向的单位向量记作 $\vec{a}^0$；我们把与向量 $\vec{a}$ 大小相等方向相反的向量称为 $\vec{a}$ 的反向量，记作 $-\vec{a}$。

向量的运算

向量加法

向量加法的三角形法则：对于向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，作有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{B C}$ 分别表示 $\vec{a}, \vec{b}$，我们就把 $\overrightarrow{A C}$ 表示的向量 $\vec{c}$ 称为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$，也就是 $\overrightarrow{A C} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C}$。

向量加法的平行四边形法则：对于向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，从同一起点 $O$ 作有向线段 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 分别表示 $\vec{a}, \vec{b}$，再以 $OA$ 和 $OB$ 为边作平行四边形 $OACB$，我们就把 $\overrightarrow{O C}$ 表示的向量 $\vec{c}$ 称为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$。 容易知道，向量的加法与两种法则中起点的选择无关。

对于任意向量，向量加法满足下列运算规律：

1. 结合律：$( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} )$
2. 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
3. 有单位元：$\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
4. 有逆元：$\vec{a} + (- \vec{a} ) = \vec{0}$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

解析失败 (语法错误): {\displaystyle (1).~ 如图(1)，作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a}，\overrightarrow{B C}~表示\vec{b}，\overrightarrow{C D}~表示\vec{c}. \\ 则( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = ( \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C}~) + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A D} \\ \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) = \overrightarrow{A B} + ( \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D}~) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B D} = \overrightarrow{A D} \\ \therefore ( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) \\ (2).~ 如图(2)，作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a}，\overrightarrow{A C}~表示\vec{b}，以\overrightarrow{A B}~和\overrightarrow{A C}~为边作平行四边形ABCD. \\ 则\overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b}，且\overrightarrow{D C} = \vec{a}，从而 \\ \vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{D C} = \overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b} \\ (3).~ 作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a}，\overrightarrow{B B}~表示\vec{0}，则有 \\ \vec{a} + \vec{0} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B} = \overrightarrow{A B} = \vec{a} \\ 这证明了\vec{a}有右单位元，由于向量加法是可交换的，所以\vec{a}有单位元。 \\ (4).~ 作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a}，则 \\ \vec{a} + (- \vec{a} ) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B A} = \vec{0} \\ 这证明了\vec{a}有右逆元，由于向量加法是可交换的，所以\vec{a}有逆元。 \\ 加法的逆元常称为负元。 }

向量数乘

现定义向量的数量乘法运算：实数 $\lambda$ 与向量 $\vec{a}$ 的乘积 $\lambda \vec{a}$ 是一个向量，它的大小为

$| \lambda \vec{a} | := | \lambda | | \vec{a} |$

当 $\lambda > 0$ 时，其方向与 $\vec{a}$ 相同，当 $\lambda < 0$ 时，其方向与 $\vec{a}$ 相反，当 $\lambda=0$ 时，$| 0 \vec{a} | = 0 | \vec{a} | = 0$，所以 $0 \vec{a} = \vec{0}$。

对于任意向量 $\vec{a}$ 和任意常数 $\lambda, \mu$ ，向量数乘满足下列运算规律：

1. $1 \vec{a} = \vec{a} , ( -1 ) \vec{a} = - \vec{a}$
2. $( \lambda \mu ) \vec{a} = \lambda ( \mu \vec{a} ) = \mu ( \lambda \vec{a} )$
3. $( \lambda + \mu ) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$
4. $\lambda ( \vec{a} + \vec{b} ) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

性质1和2是由定义是显然的，下证明3和4。解析失败 (语法错误): {\displaystyle 证(3)~ 当\lambda\mu\vec{a} = 0时，显然等式两侧都为0 （或皆为 \vec{0}），等式成立。 \\ 当\lambda\mu\vec{a} \ne 0时，若\lambda\mu > 0, 则\lambda \vec{a} 和 \mu \vec{a} 同向，所以 ( \lambda + \mu ) \vec{a} 和 \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} 同向，且有 \\ | \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} | = | \lambda \vec{a} | + | \mu \vec{a} | = | \lambda | | \vec{a} | + | \mu | | \vec{a} | = ( | \lambda | + | \mu | ) \vec{a} = ( | \lambda + \mu | ) \vec{a} = | ( \lambda + \mu ) \vec{a} | \\ 若\lambda\mu < 0, 不妨设\lambda > 0, \mu < 0. 分以下三种情况 \\ \quad①若\lambda + \mu = 0, 则( \lambda + \mu ) \vec{a} = 0 \vec{a} = \vec{0} \\ \qquad\lambda \vec{a} + \mu \vec{a} = \lambda \vec{a} + ( - \lambda ) \vec{a} = \lambda \vec{a} + ( - 1) ( \lambda \vec{a} ) = \lambda \vec{a} + ( - \lambda \vec{a} ) = 0 \\ \qquad所以等式成立。 \\ \quad②若\lambda + \mu > 0, 考虑到 - \mu > 0, 由前者\lambda\mu > 0情况的证明易得}
$\qquad \qquad \qquad {\begin{array}{rcl}[(\lambda +\mu )+(-\mu )]{\vec {a}}&=&(\lambda +\mu ){\vec {a}}+(-\mu ){\vec {a}}\\\lambda {\vec {a}}&=&(\lambda +\mu ){\vec {a}}+(-\mu {\vec {a}})\\(\lambda +\mu ){\vec {a}}&=&\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {a}}\end{array}}$
解析失败 (语法错误): {\displaystyle \quad③若\lambda + \mu < 0, 由于\lambda + \mu与- \lambda同号，于是由前者\lambda\mu > 0情况的证明可知}
${\begin{array}{rcl}\qquad \qquad \qquad [(\lambda +\mu )+(-\lambda )]{\vec {a}}&=&(\lambda +\mu ){\vec {a}}+(-\lambda ){\vec {a}}\end{array}}$
解析失败 (语法错误): {\displaystyle \qquad类似②的讨论可得结果。}

向量的线性组合

←上一节
已经是第一节了

下一节→
仿射标架