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\vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) = \overrightarrow{A B} + ( \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D}~) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B D} = \overrightarrow{A D} \\ |
\vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) = \overrightarrow{A B} + ( \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D}~) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B D} = \overrightarrow{A D} \\ |
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− | (2).~ 如图(2),作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},\overrightarrow{A C}~表示\vec{b},以\overrightarrow{A B}~和\overrightarrow{A C}~为边作平行四边形\overrightarrow{A B C D} |
+ | (2).~ 如图(2),作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},\overrightarrow{A C}~表示\vec{b},以\overrightarrow{A B}~和\overrightarrow{A C}~为边作平行四边形\overrightarrow{A B C D} \\ |
− | 则\overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b},且\overrightarrow{D C} = \vec{a},从而 |
+ | 则\overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b},且\overrightarrow{D C} = \vec{a},从而 \\ |
\vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{D C} = \overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b} \\ |
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(3).~ 作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},\overrightarrow{B B}~表示\vec{0},则有 \\ |
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− | \vec{a} + \vec{0} =\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B} = \vec{a} \\ |
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+ | 这证明了\vec{a}有右零元,由于向量加法是可交换的,所以\vec{a}有零元。 \\ |
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(4).~ 作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},则 \\ |
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− | \vec{a} + (- \vec{a} ) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B A} = \vec{0} |
+ | \vec{a} + (- \vec{a} ) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B A} = \vec{0} \\ |
+ | 这证明了\vec{a}有右逆元,由于向量加法是可交换的,所以\vec{a}有逆元。 \\ |
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+ | 加法的逆元常称为负元。 |
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===向量数乘=== |
===向量数乘=== |
2020年11月29日 (日) 06:05的版本
说明:这里介绍的向量是三维空间的向量,如想了解二维向量,请前往平面向量(平面几何);想了解高维向量,前往高维向量(线性代数)。
欢迎来到解析几何的三维空间几何部分!
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识,希望你能收获更多!
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识,希望你能收获更多!
向量(vector)是空间中重要的元素,它可以将代数运算直接引入几何中,是线性空间的几何基础。
概念及表示
空间中向量又称矢量,它是指有大小和方向的量。通常,我们可以用加粗的小写字母(印刷体)或小写字母上加右箭头来表示,如 ,一个向量也可以用有向线段 来表示,向量的大小用这条线段的长度 表示,向量的方向用 到 的指向表示。
显然我们可以知道两个向量相等当且仅当它们的大小和方向相等,而与位置无关。如果两个向量在经过平移后重合,我们就可断言这两个向量相等。
向量 的大小也叫做向量 的长度,或向量 的模(长),记为 。
特别的,我们把长度为零的向量称为零向量,记为 ,手写体记为 ,零向量不定义方向,或者说,零向量的方向是任意的;我们把长度为 的向量称为单位向量,与 同向的单位向量记作 ;我们把与向量 大小相等方向相反的向量称为 的反向量,记作 。
向量的运算
向量加法
向量加法的三角形法则:对于向量 ,作有向线段 和 分别表示 ,我们就把 表示的向量 称为向量 与 的和,记作 ,也就是 。
向量加法的平行四边形法则:对于向量 ,从同一起点 作有向线段 和 分别表示 ,再以 和 为边作平行四边形 ,我们就把 表示的向量 称为向量 与 的和,记作 。 容易知道,向量的加法与两种法则中起点的选择无关。
对于任意向量,向量加法满足下列运算规律:
- 结合律:
- 交换律:
- 有零元:
- 有逆元:
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
解析失败 (语法错误): {\displaystyle (1).~ 如图(1),作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},\overrightarrow{B C}~表示\vec{b},\overrightarrow{C D}~表示\vec{c}。 \\ 则( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = ( \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B C}~) + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C D} = \overrightarrow{A D} \\ \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) = \overrightarrow{A B} + ( \overrightarrow{B C} + \overrightarrow{C D}~) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B D} = \overrightarrow{A D} \\ \therefore ( \vec{a} + \vec{b} ) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) \\ (2).~ 如图(2),作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},\overrightarrow{A C}~表示\vec{b},以\overrightarrow{A B}~和\overrightarrow{A C}~为边作平行四边形\overrightarrow{A B C D} \\ 则\overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b},且\overrightarrow{D C} = \vec{a},从而 \\ \vec{b} + \vec{a} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{D C} = \overrightarrow{A C} = \vec{a} + \vec{b} \\ (3).~ 作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},\overrightarrow{B B}~表示\vec{0},则有 \\ \vec{a} + \vec{0} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B B} = \overrightarrow{A B} = \vec{a} \\ 这证明了\vec{a}有右零元,由于向量加法是可交换的,所以\vec{a}有零元。 \\ (4).~ 作\overrightarrow{A B}~表示\vec{a},则 \\ \vec{a} + (- \vec{a} ) = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{B A} = \vec{0} \\ 这证明了\vec{a}有右逆元,由于向量加法是可交换的,所以\vec{a}有逆元。 \\ 加法的逆元常称为负元。 }
向量数乘
向量的线性组合
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仿射标架
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