二元关系(binary relation)是集合论中同一集合中两个元素之间的关系。
定义及表示[]
如果一个集合满足以下条件之一:
- 为空集();
- 非空集合且元素都是二元有序对,
则称该集合为一个二元关系(或简称关系),记作。对于,如果,则记作,意思就是和有关系(注意顺序),若,则记作
关系可以用集合表示,如集合上的关系,这是一个全关系。
将上的二元关系看作集合,将所有的二元关系收集起来,按照集合间的包含作为偏序,会形成一个偏序集,进一步它还是格。
几种特殊的二元关系[]
- 空关系:,空关系就是二元关系定义中的第一种情况;
- 全关系:;
- 恒等关系:。
- 逆关系:若关系,则可定义它的逆关系。
特别地,全关系和恒等关系的逆都是自身。
- 关系积(relational product):假设是上的二元关系,那么由下式定义:同样可以递归定义
关系的性质[]
说明:下列关系均定义在集合上。
- 自反性:称是自反的,如果,即。
自反性要求必须包括全部由组成的元素相同的有序对。例如,整数上的整除关系是自反的,实数上的小于等于关系也是自反的,因为任意一个实数总小于等于自身,但小于关系却不是,因为没有一个有限实数小于自身。
同样,集合的包含关系是自反的,但真包含关系却不是自反的。
特别的,全关系和恒等关系都是自反的。
- 反自反性:称是反自反的,如果。
反自反性与自反性只容许有一个成立,或都不成立。
例如实数上的小于关系是反自反的,集合上的真包含也是反自反的。
- 对称性:称是对称的,如果。
也就是说,上若有,则必有。
例如,空关系、全关系和恒等关系都是对称的,数和集合上的相等与不等关系也是对称的。
- 反对称性:称是反对称的,如果。
也就是说,时上若有,则必没有。
例如,实数的小于等于关系是反对称的,集合的包含关系也是反对称的。
- 传递性:称是传递的,如果
显然,整数上的整除关系,实数上的小于等于、小于、等于关系是传递的,集合上的包含,真包含关系也是传递的。
一些推论:
- 集合上的一个关系,如果它是对称且可传递,那它一定自反;
- 一个关系和它的逆关系具有相同的性质;
- 若两个关系具有相同的性质,那它们的交关系也就有相同的性质。