FANDOM


The following is a table of indefinite integrals, or antiderivatives. C is the constant of integration.

Standard functions

  • $ \int a\,dx=ax+C $
  • $ \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\ ,\ n\ne-1 $
  • $ \int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int f'(x)\left(\int g(x)dx\right)dx+C $(integration by parts)

Logarithmic and exponential functions

  • $ \int a^xdx=\dfrac{a^x}{\ln(a)}+C $
  • $ \int e^xdx=e^x+C $
  • $ \int\dfrac{dx}{x}=\ln\big(|x|\big)+C $
  • $ \int\ln(x)dx=x\ln(x)-x+C $
  • $ \int\log_a(x)dx=x\log_a(x)-\dfrac{x}{\ln(a)}+C $

Trigonometric functions

  • $ \int\sin(x)dx=-\cos(x)+C $
  • $ \int\cos(x)dx=\sin(x)+C $
  • $ \int\tan(x)dx=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C=\ln\big(|\sec(x)|\big)+C $
  • $ \int\csc(x)dx=\ln\left(\left|\tan\left(\tfrac{x}{2}\right)\right|\right)+C $
  • $ \int\sec(x)dx=\ln\big(|\sec(x)+\tan(x)|\big)+C $
  • $ \int\cot(x)dx=\ln\big(|\sin(x)|\big)+C $
  • $ \int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin(x)+C $
  • $ \int-\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arccos(x)+C $
  • $ \int\dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan(x)+C $
  • $ \int-\dfrac{dx}{1+x^2}=\arccot(x)+C $
  • $ \int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\arcsec\big(|x|\big)+C $
  • $ \int-\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\arccsc\big(|x|\big)+C $

Hyper Trigonometric functions

  • $ \int \sinh(x) dx = \cosh(x)+C $
  • $ \int \cosh(x) dx = \sinh(x)+C $
  • $ \int \tanh(x) dx = \ln(\cosh(x))+C $
  • $ \int \operatorname{csch}(x) dx = \ln\left(\left|\tanh\left(\tfrac{x}{2}\right)\right|\right)+C $
  • $ \int \operatorname{sech}(x) dx = 2\arctan\left(\tanh\left(\tfrac{x}{2}\right)\right)+C $
  • $ \int \operatorname{coth}(x) dx = \ln( \sinh (x))+C $
  • $ \int \dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \operatorname{arcsinh}(x)+C $
  • $ \int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2 -1}} = \operatorname{arccosh}(x)+C $
  • $ \int \dfrac{dx}{1-x^2} = \operatorname{arctanh}(x)+C $
  • $ \int \dfrac{dx}{1-x^2} = \operatorname{arccoth}(x)+C $
  • $ \int -\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} = \operatorname{arcsech}\big(|x|\big)+C $
  • $ \int -\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} = \operatorname{arccsch}\big(|x|\big)+C $
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.