Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка[]

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть $f:[a,b] \to \mathbb{R},$ и $f\in C\bigl( [a,b] \bigr).$ Пусть

M = \sup\limits_{x\in [a,b]}f(x),\; m = \inf\limits_{x\in [a,b]} f(x)

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции $f$ соответственно. Тогда $-\infty < m \le M < \infty,$ и существуют $x_m,x_M \in [a,b]$ такие, что

f(x_m) = m,\; f(x_M) = M.

Замечания[]

По определению точки $x_m$ и $x_M$ являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.
В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс
$\mathrm{tg}:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}$

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

Обобщения[]

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций[]

Пусть функция $f:[a,b]\to\R$ полунепрерывна сверху. Тогда
$M = \sup\limits_{x\in [a,b]}f(x) < \infty,$ и $\exists x_M \in [a,b]\; f(x_M) = M.$

Пусть функция $f:[a,b]\to\R$ полунепрерывна снизу. Тогда
$m = \inf\limits_{x\in [a,b]}f(x) > -\infty,$ и $\exists x_m \in [a,b]\; f(x_m) = m.$

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте[]

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T}),$ и компактное подмножество $K \subset X.$ Пусть дана непрерывная функция $f:K \to \mathbb{R},\; f\in C(K).$ Тогда