Ряд Фурье

Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Определение

Классическое определение.

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида

$\frac{a_0}{2} + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + b_2 \sin 2x + \ldots$

или, более сжато

$\frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

(1)

Постоянные числа $a_0\!$, $a_n \!$ и $b_n\!$ ($n = 1, 2, \ldots\!$) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция $f(x) \!$ с периодом $2 \pi \!$, так как $\sin nx\!$ и $\cos nx\!$ являются периодическими функциями с периодом $2 \pi \!$.

Общее определение

Пусть в Гильбертовом пространстве $R$ даны ортогональная система $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ и $f$ — произвольный элемент из $R$. Последовательность чисел

$c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{||\varphi_k||^2}$

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$ по системе $\{\varphi_k\}$, а ряд

$\sum_k c_k \varphi_k$

называется рядом Фурье элемента $f$ по ортогональной системе $\{\varphi_k\}$.

Справедливо т. н. неравенство Бесселя:

$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2$

Если выполнено равенство Парсеваля

$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2$,

то нормированная система $\{\varphi_k\}$ называется замкнутой.

Справедливо утверждение: в сепарабельном евклидовом пространстве $R$ всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой и наоборот.

Сходимость ряда Фурье

Теорема: Шаблон:Начало цитаты Если периодическая функция $f(x) \!$ с периодом $2 \pi \!$ — кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке $[-\pi, \pi]\!$, то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда $s(x)\!$ равна значению функции $f(x) \!$ в точках ее непрерывности. В точках разрыва $f(x) \!$ сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции $f(x) \!$ справа и слева. Шаблон:Конец цитаты

Из этой теоремы следует, что тригонометрические ряды Фурье применимы к достаточно широкому классу функций.

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье

Литература

• Рудин У. Основы математического анализа 1976
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интергальное исчисления для ВТУЗов, т. 2. М., «Наука», 1964.

ar:متسلسلة فوريي ca:Sèrie de Fourier cs:Fourierova řada da:Fourierrække fa:سری فوریه gl:Serie de Fourier he:טור פורייה hu:Fourier-sor lt:Furjė eilutė nl:Fourierreeks pl:Szereg Fouriera sk:Fourierov rad sv:Fourier-serie th:อนุกรมฟูริเยร์ vi:Chuỗi Fourier