У этого термина существуют и другие значения, см. норма .
Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства .
Норма в векторном линейном пространстве
L
{\displaystyle L}
полем вещественных или комплексных чисел есть функция
p
:
L
→
R
{\displaystyle p:L \to \mathbb{R}}
p
(
x
)
≥
0
{\displaystyle p(x) \ge 0}
p
(
x
)
=
0
{\displaystyle ~p(x)=0}
x
=
0
{\displaystyle ~x=0}
p
(
x
+
y
)
≤
p
(
x
)
+
p
(
y
)
{\displaystyle p(x+y) \le p(x)+p(y)}
x
,
y
∈
L
{\displaystyle x, y \in L}
неравенство треугольника );
p
(
α
x
)
=
|
α
|
p
(
x
)
{\displaystyle ~p(\alpha x)=|\alpha|p(x)}
α
{\displaystyle ~\alpha}
Норма
x
{\displaystyle ~x}
‖
x
‖
{\displaystyle \| x \|}
нормированным пространством .
Примеры норм в линейных пространствах
Гёльдеровы нормы n -мерных векторов (семейство):
‖
x
‖
p
=
∑
i
|
x
i
|
p
p
{\displaystyle \|x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i} |x_i|^p}}
Нормы функций в пространстве
C
[
0
,
1
]
{\displaystyle C[0, 1]}
‖
f
(
x
)
‖
C
[
0
,
1
]
=
max
x
∈
[
0
,
1
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|}
Топология пространства и норма [ ] Норма задаёт на пространстве топологию , базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида
B
(
x
,
ϵ
)
=
{
y
∣
‖
x
−
y
‖
<
ϵ
}
{\displaystyle B(x,\epsilon)=\{y \mid \|x-y\|<\epsilon\}}
Эквивалентность норм [ ] Две нормы
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
L
{\displaystyle L}
эквивалентными , если существует две положительные константы
C
1
{\displaystyle C_1}
C
2
{\displaystyle C_2}
x
∈
L
{\displaystyle x \in L}
C
1
p
(
x
)
≤
q
(
x
)
≤
C
2
p
(
x
)
{\displaystyle C_1 p(x) \leq q(x) \leq C_2 p(x)}
Операторная норма [ ] Норма оператора
A
{\displaystyle A}
число , которое определяется, как:
‖
A
‖
=
sup
‖
x
‖
=
1
‖
A
x
‖
{\displaystyle \|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|}
где
A
{\displaystyle A}
оператор , действующий из нормированного пространства
L
{\displaystyle L}
нормированное пространство
K
{\displaystyle K}
Свойства операторных норм:
‖
A
‖
≥
0
{\displaystyle \|A \| \geq 0}
‖
A
‖
=
0
{\displaystyle \|A \| = 0}
A
=
0
{\displaystyle A = 0}
‖
α
A
‖
=
|
α
|
⋅
‖
A
‖
{\displaystyle \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|}
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
{\displaystyle \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|}
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
⋅
‖
B
‖
{\displaystyle \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|}
Матричная норма [ ] Нормой матрицы
A
{\displaystyle A}
действительное число
‖
A
‖
{\displaystyle \|A\|}
‖
A
‖
≥
0
{\displaystyle \|A \| \geq 0}
‖
A
‖
=
0
{\displaystyle \|A \| = 0}
A
=
0
{\displaystyle A = 0}
‖
α
A
‖
=
|
α
|
⋅
‖
A
‖
{\displaystyle \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|}
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
{\displaystyle \|A + B\| \le \|A\| + \|B\|}
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
⋅
‖
B
‖
{\displaystyle \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\|}
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной . Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.
Виды матричных норм [ ] m -норма:
‖
A
‖
m
=
max
i
∑
j
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|_m = \max_i \sum_j |a_{ij}|}
l -норма:
‖
A
‖
l
=
max
j
∑
i
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|A\|_l = \max_j \sum_i |a_{ij}|}
Евклидова норма:
‖
A
‖
E
=
∑
i
,
j
|
a
i
j
|
2
{\displaystyle \|A\|_E = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2}}
Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов):
‖
A
‖
2
=
max
i
σ
i
(
A
)
{\displaystyle \|A\|_2 = \max_i \sigma_i (A)}
ca:Norma (matemàtiques)
da:Norm (matematik)
he:נורמה (מתמטיקה)
nl:Norm (wiskunde)
pl:Norma (matematyka)
sv:Norm (matematik)
ur:امثولہ (ریاضی)
![{\displaystyle \|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i}|x_{i}|^{p}}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/1237b12fb32726e3cc8f117de3b7de605522a83c)
![{\displaystyle C[0,1]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/67917f0e1d6ac680981e2e1094b8725601b06ad6)
![{\displaystyle \|f(x)\|_{C[0,1]}=\max _{x\in [0,1]}|f(x)|}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/55f5fc37c00007735ab1425f2c396032b800c927)
