Ле́мма Ферма́
Формулировка [ ] Пусть функция
f
:
M
⊂
R
→
R
,
{\displaystyle f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},}
внутренней точке области определения
x
∈
M
0
{\displaystyle x \in M^0}
локальный экстремум . Пусть также существуют односторонние производные
f
+
′
(
x
0
)
,
f
−
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'_+(x_0),f'_-(x_0)}
eсли
x
0
{\displaystyle x_0}
точка локального максимума , то
f
+
′
(
x
0
)
≤
0
,
f
−
′
(
x
0
)
≥
0
;
{\displaystyle f'_+(x_0) \le 0,\; f'_-(x_0) \ge 0;}
eсли
x
0
{\displaystyle x_0}
точка локального минимума , то
f
+
′
(
x
0
)
≥
0
,
f
−
′
(
x
0
)
≤
0.
{\displaystyle f'_+(x_0) \ge 0,\; f'_-(x_0) \le 0.}
В частности, если функция
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_0}
производную , то
f
′
(
x
0
)
=
0.
{\displaystyle f'(x_0) = 0.}
Шаблон:Доказательство
Замечание [ ] Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс . Обратное, вообще говоря, неверно.
Примеры [ ] Пусть
f
(
x
)
=
|
x
|
.
{\displaystyle f(x) = |x|.}
x
=
0
{\displaystyle x = 0}
f
+
′
(
0
)
=
1
≥
0
,
f
−
′
(
0
)
=
−
1
≤
0.
{\displaystyle f'_+(0) = 1 \ge 0,\; f'_-(0) = -1 \le 0.}
Пусть
f
(
x
)
=
x
2
.
{\displaystyle f(x) = x^2.}
x
=
0
{\displaystyle x = 0}
f
′
(
0
)
=
0.
{\displaystyle f'(0) = 0.}
Пусть
f
(
x
)
=
x
2
.
{\displaystyle f(x) = x^2.}
f
′
(
0
)
=
0
,
{\displaystyle f'(0) = 0,}
но точка
x
=
0
{\displaystyle x = 0}
См. также [ ] Эта статья содержит материал из статьи Лемма Ферма русской Википедии.
