Касательная прямая

Файл:Tangent to a curve.svg

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я в математическом анализе — прямая, проходящая через точку графика функции и имеющая такой же наклон.

Определение

• Пусть функция $f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ определена в некоторой окрестности точки $x_0 \in \R$, и дифференцируема в ней: $f\in \mathcal{D}(x_0)$. Касательной прямой к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

  $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}.$

• Если функция $f$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную $f'(x_0) = \pm \infty,$ то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

  $x = x_0.$

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x_0, f(x_0))$. Угол наклона касательной прямой $\alpha$ удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}(\alpha) = f'(x_0),$

где $\operatorname{tg}$ обозначает тангенс.

Касательная как предельное положение секущей

Файл:Derivative.gif

Пусть $f:U(x_0) \to \R,$ и $x_1 \in U(x_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1,f(x_1))$ задаётся уравнением

$y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).$

Эта прямая проходит через точку $(x_0, f(x_0))$ для любого $x_1\in U(x_0),$ и её угол наклона $\alpha(x_1)$ удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg} (\alpha(x_1)) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

В силу существования производной функции $f$ в точке $x_0,$ переходя к пределу при $x_1 \to x_0,$ получаем, что существует предел

$\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}(\alpha(x_1)) = f'(x_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\alpha = \operatorname{arctg}\left(f'(x_0)\right).$

Прямая, проходящая через точку $(x_0, f(x_0))$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\operatorname{tg}(\alpha) = f'(x_0),$ задаётся уравнением касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).$

Односторонние полукасательные

• Если существует правая производная $f'_+(x_0) < \infty,$ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$y = f(x_0) + f'_+(x_0)(x - x_0),\quad x \ge x_0.$

• Если существует левая производная $f'_-(x_0) < \infty,$ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$y = f(x_0) + f'_-(x_0)(x - x_0),\quad x \le x_0.$

• Если существует бесконечная правая производная $f'_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$x = x_0, \; y \ge f(x_0)\; (y \le f(x_0)).$

• Если существует бесконечная левая производная $f'_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

$x = x_0, \; y \le f(x_0)\; (y \ge f(x_0)).$

См. также

• Дифференцируемая функция.