Дифференциал (математика)

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал $f$ обозначается $df$, а его значение в точке $x$ обозначается $d_xf$.

Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию $f(x)$. Проведем касательную к ней в точке $x$, и отложим на ней отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось $x$ была равна $\Delta x$. Проекция этого отрезка на ось $y$ называется дифференциалом функции $f(x)$ в точке $x$ от $\Delta x$. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных $x$ и $\Delta x$,

$df:(x,\Delta x)\mapsto d_xf(\Delta x)$

определяемой соотношением

$d_xf(\Delta x)=f'(x)\cdot\Delta x,$

в частности

$f(x+\Delta x)=f(x)+d_xf(\Delta x)+o(\Delta x).$

Определения

Для функций

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции $f$ определённой на $M$ ($M$ — область в $\R^n$ или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается $df$ и определяется соотношением

$df(X)=Xf$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению вектора $X$ в касательном расслоении $M$.

Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладком многообразия в многообразие $F:M\to N$ есть отображение между их касательными расслоениями, $dF:TM\to TN$, такое что для любой гладкой функции $g:N\to \R$ имеем

$dF(X)g=X(F\circ g)$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению $X$. (В левой части равенства берётся производная в $N$ функции $g$ по $dF(X)$ в правой — в $M$ функции $F\circ g$ по $X$).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Примеры

• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset \R$ задана гладкая функция $f: U \rightarrow \R$. Тогда $df=f' dx$, где $f'$ обозначает производную $f$, а $dx$ является постоянной формой определяемой $dx(V)=V$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset \R^n$ задана гладкая функция $f:\Omega\to \R$. Тогда $df=\sum_{i=1}^n\tfrac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$. Форма $dx_i$ может быть опеделена соотношением $dx_i(V)=v_i$, для вектора $V=(v_1,v_2,\dots,v_n)$.
• Пусть в открытом множестве $\Omega\subset \R^n$ задано гладкое отображение $F:\Omega\to \R^m$. Тогда
      $d_xF(v)=J(x)v$,
  где $J(x)$ есть матрица Якоби отображения $F$ в точке $x$.

История

Термин Дифференциал (от лат. differentia-разность, различие) введен Лейбницем. Изначально, $dx$применялось для обозначение «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался не удобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).

См. также

• Внешний дифференциал

bg:Диференциал (математика) cs:Diferenciál (matematika) eo:Diferencialo et:Diferentsiaal he:דיפרנציאל (מתמטיקה) nn:Differensial i matematikk no:Differensial (matematikk) pl:Różniczka simple:Differential sv:Differential ta:வகையீடு uk:Диференціал (математика)