Вероятностное пространство

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, где

• $\Omega\$ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• $\mathcal{F}$ - сигма-алгебра подмножеств $\Omega\$, называемых (случайными) событиями;
• $\mathbb{P}$ - вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что $\mathbb P(\Omega)=1$.

Конечные вероятностные пространства

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть $\Omega\$ суть конечное множество, содержащее $\vert \Omega \vert = n$ элементов. В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств $\Omega\$. Его часто символически обозначают $2^\Omega\$. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно $2^{\vert \Omega \vert}$, что объясняет обозначение. Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

$\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}$,

где $A\subset \Omega$, и $\vert A \vert = n_A$ - число элементарных исходов, принадлежащих $A \$. В частности вероятность любого элементарного события:

$\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.$

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять $\Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\}$ и определить вероятность следующим образом:

$\mathbb{P}(\{0\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{1\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{0,1\}) = 1,\; \mathbb{P}(\emptyset) = 0.$

eo:Probablo-spaco he:מרחב הסתברות is:Líkindamál no:Sannsynlighetsrom pl:Przestrzeń probabilistyczna