Математика
Advertisement

p-ади́ческое число — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно p-адической нормы.

-адические числа были введены Куртом Гензелем (Kurt Hensel), первая публикация относится к 1897 году.

Поле -адических чисел обычно обозначается .

Метрическое построение

p-адическая норма

Любое рациональное число можно представить как где и целые числа, не делящиеся на , а — целoe. Тогда -адическая норма — определяется как . Если , то .

Построение

Поле -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой , определённой -адической нормой: . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел.

Норма продолжается по непрерывности до нормы на .

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Целым -адическим числом для произвольного простого называется бесконечная последовательность вычетов по модулю , удовлетворяющих условию Сложение и умножение целых -адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.

Относительно сложения и умножения целые p-адические числа образуют кольцо, которое содержит кольцо целых чисел, каждое целое число отождествляется с -адическим числом .

Кольцо целых -адических чисел обычно обозначается .

Другими словами, кольцо целых -адических чисел определяется как проективный предел

колец вычетов по модулю относительно естественных проекций .

p-адические числа

-адическим числом называется элемент поля частных кольца целых -адических чисел. Это поле называется полем -адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел.

Свойства

  • Каждый элемент поля -адических чисел может быть представлен в виде
где — некоторое целое число, а — целые неотрицательные числа, не превосходящие . Такая сумма всегда сходится в метрике .
  • p-адическая норма удовлетворяет сильному неравенству треугольника
  • Числа с условием образуют кольцо целых -адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел в норме .
  • Числа с условием образуют мультипликативную группу и называются -адическими единицами.
  • Совокупность чисел с условием является главным идеалом в с образующим элементом .
  • метрическое пространство гомеоморфно Канторову множеству, а пространство гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных нормы независимы, а поля неизоморфны.
  • Для любых элементов r, r2, r3, r5, r7, …, таких что и , можно найти последовательность рациональных чисел xn, таких что для любого p, и .

Применения

  • Если — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения
эквивалентна разрешимости уравнения
в целых -адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях -адических чисел при всех , а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.
На практике для проверки разрешимости уравнения в целых -адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений . Например, согласно лемме Гензеля, при достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных служит наличие простого решения у сравнения по модулю (т.е. простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ). Иначе говоря, при для проверки наличия корня у уравнения в целых -адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при .

Литература

  • Hensel, K., Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, Jahresber. Deutsch. Math. Verein 6, 83-88, 1897. (Первая публикация о p-адических числах)
  • Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю., 2-адические числа. Квант, № 2, 1979.


Шаблон:Категория только в статьях

ca:Nombre p-àdic he:מספר p-אדי nl:P-adisch getal pl:Liczby p-adyczne sv:P-adiska tal zh-classical:進數

Advertisement