Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций:

с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, т.е. набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.

Элементарные функции по Лиувиллю

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной - аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция от и функций , причем является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от , является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от , является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции от и т.д.

Напр., - алгебраическая функция от .

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех , то все коэффициенты полинома равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций

Элементарные функции непрерывны и бесконечно дифференцируемы всюду, где они определены. При этом производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

где равно или или в зависимости от того, логарифм ли или экспонента и т.д. На практике удобно использовать таблицу производных.

Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространенные функции, интегралы которых найдены собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде

где - некоторые комплексные числа, а - алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от берется в элементарных функциях, то верно

где - алгебраическая функция, - логарифм или экспонента алгебраической функции и т.д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

где - алгебраические функции своих аргументов. Если - семейство решений этой системы, то

откуда

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование фунций вида

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

где - полиномы, берется в элементарных функциях, то

,

где - тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

Пример. В частности, интеграл

не берется, поскольку подстановка

в уравнение

дает . Интеграл же

берется, поскольку

имеет решение . При этом, конечно,

Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе верно

Дифференцируя по и полагая , видим, что интеграл выражается алгебраически через , то есть

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

Дифференцируя по и полагая , имеем

при , а следовательно, в силу алгебраической независимости , при всех . Поэтому

где - некоторая алгебраическая функция . Таким образом,

Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функций , то - полином. Следствие доказано.

Интегрирование алгебраических функций

Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов, которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса, Пташицкого[1] и Риша[2].

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple.

Вычисление пределов

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Не известно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности дает ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о пределе последовательности .[3]

См. также

Литература

Примечания

  1. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Art. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901 г.)
  2. Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. Гл. 4. М., "Мир", 1985
  3. http://www.mccme.ru/ask/qa/pi_irr.html

cs:Elementární funkce he:פונקציה אלמנטרית sl:elementarna funkcija sv:Elementär funktion uk:Елементарні функції

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.