Функция распределения

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и на нём определена случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$. Тогда функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F_{X}:\mathbb {R} \to [0,1]$, задаваемая формулой:

$F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)\equiv \mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])$.

Простейшие свойства

• $F _X$ не убывает на всей числовой прямой.
• $F _X$ непрерывна справа.
• $\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$.
• $\lim\limits_{x \to \infty} F_X(x) = 1$.

Взаимо-однозначное соответствие распределению

Очевидно, что распределение случайной величины $\mathbb{P}^X$ однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция $F(x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения.

Вычисление вероятностей

Левый предел

По определению непрерывности справа, функция $F _X$ имеет правый предел $F_X(x+)$ в любой точке $x \in \R$, и он совпадает со значением функции $F_X (x)$ в этой точке. В силу неубывания, функция $F _X$ также имеет и левый предел $F_X(x-)$ в любой точке $x \in \R$, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $F _X$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Простейшие формулы

Из свойств вероятности следует, что $\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}$, таких что $a < b$:

• $\mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x)$;
• $\mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-)$;
• $\mathbb {P} (X\geq x)=1-F_{X}(x-)$;
• $\mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-)$;
• $\mathbb {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$;
• $\mathbb {P} (a\leq X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$;
• $\mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a)$;
• $\mathbb {P} (a\leq X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$.

Дискретные распределения

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots$,

то функция распределения $F _X$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$F_{X}(x)=\sum \limits _{i:x_{i}\leq x}p_{i}$.

Эта функция непрерывна в любой точке $x \in \R$, такой что $x \not= x_i,\; \forall i$, и имеет разрыв, равный $p_i$, в $x=x_i$.

Непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется непрерывным, если такова его функция распределения $F _X$. В этом случае:

$\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}$,

и

$F_{X}(x-)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}$,

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

$\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)$,

где $|a,b|$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $f_X(x)$, такая что:

$F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt$.

Функция $f_X$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если $f_X \in C(\mathbb{R})$, то $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, и

$\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$.

Многомерные функции распределения

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ фиксированное вероятностное пространство, и $X=(X_{1},\ldots ,X_{n}):\Omega \to \mathbb {R} ^{N}$ - случайный вектор. Тогда распределение $\mathbb{P}^X$ является вероятностной мерой на $\R^n$. Функция этого распределения $F_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ задаётся по определению следующим образом:

$F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\right)$,

где $\prod$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $\R^n$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $n>1$.

См. также

• Плотность вероятности.

Эта статья содержит материал из статьи Функция распределения русской Википедии.