Шаблон:Translate-stub

В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора , действующего на обобщённые функции над многообразием в точке , является решением уравнения , где дельта-функция Дирака. Если ядро оператора нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция, а обобщённая функция.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к .

Функции Грина также полезны в теории конденсированных сред, где они позволяют разрешить уравнение диффузии, и в квантовой механике, где функция Грина гамильтониана является ключевой концепцией и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны.

Функция Грина названа в честь английского математика Джорджа Грина (Шаблон:Lang-en), который первым развил эту теорию в 1830-х гг.

Основание

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма—Лиувилля. Пусть — функция Грина оператора , тогда решение уравнения задаётся так:

.

Это можно считать разложением по базису из дельта-функций Дирака.

Применения функции Грина

Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых задач. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Исходные данные

Пусть оператор Штурма—Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

и пусть — оператор краевых условий

Пусть непрерывная функция на промежутке . Предположим также, что задача

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема

Тогда существует единственное решение , удовлетворяющее системе

которое задаётся выражением

,

где — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

  1. непрерывна по и .
  2. Для , .
  3. Для , .
  4. Скачок производной: .
  5. Симметрична: .

Нахождение функции Грина

Разложение

Если множество собственных векторов дифференциального оператора (то есть набор функций и скаляров таких, что ) полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов и собственных значений.

Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора :

.

Можно показать, что

.

Действительно, подействовав оператором на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

Функция Грина для лапласиана

Пример

Дана задача

;
.

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Из 2-го условия мы видим, что

.

Для из 3-го условия , в то же время для выполняется .

В итоге:

Второй шаг:

Нужно определить и .

По 1-му условию

.

Используя 4-ое условие, получим:

.

Используя правило Крамера или просто угадывая решение для и , получим, что

.

Эти выражения удовлетворяют условию 5.

Тогда функция Грина задачи:

Другие примеры

  • Пусть дано многообразие и оператор равен . Тогда функция Хевисайда является функцией Грина для при .
  • Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости и — оператор Лапласа. Также предположим, что при наложены краевые условия Дирихле, при — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

См. также

Литература

  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-ая глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9


Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.