Функциональный анализ — это раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например - пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как оператор и функционал.

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внес польский математик Стефан Банах.

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики, как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.

Ключевые результаты

  • Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
  • Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых простраствах.
  • Теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору. Как её следствие - теорема о замкнутом графике.
  • Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна) дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.

Направление исследований

Функцианальный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

  • Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
  • Геометрия Банаховых пространств. Комбинаторный подход первоначально предложеный Джин Бургейн (Jean Bourgain).
  • Некоммутативная геометрия. Разработанная Алэном Конном (Alain Connes), частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
  • Связь с квантовой механикой. Также более узко определённая как в математической физике, или истолковонное более общё, например Гельфандом, включается в более типичную теорию изображений.

Литература

А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1972
Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. Элементы функционального анализа
У. Рудин. «Функциональный анализ»
Стефан Банах. «Теория линейных операций»
Б. Саймон. «Методы современной математической физики - Функциональный анализ (том 1)»
И. П. Натансон "Теория функций вещественной переменной"


cs:Funkcionální analýza fa:آنالیز تابعی gl:Análise Funcional he:אנליזה פונקציונלית ka:ფუნქციონალური ანალიზი nl:Functionaalanalyse pl:Analiza funkcjonalna pms:Anàlisi fonsional sv:Funktionalanalys uk:Функціональний аналіз vi:Giải tích hàm

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.