Формула Остроградского — формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между -кратным интегралом по области и -кратным интегралом по её границе. Пусть есть векторное поле на , такое что функции вместе со своими частными производными интегрируемы по Лебегу в ограниченной области , граница которой является объединением конечного множества кусочно гладких -мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней единичной нормали . Тогда формула Остроградского имеет вид

где

есть дивергенция поля .

Иначе говоря, интеграл дивергенции поля по области равен его потоку сквозь границу области.

История

Для гладких функций эта формула была впервые получена в трёхмерном случае Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). На -мерный случай была обобщена им же в 1834 (опубликовано в 1838). С помощью этой формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации -кратного интеграла. При для одного частного случая формула Остроградского была получена Гауссом в 1813 , поэтому иногда она называется также формулой Остроградского — Гаусса. Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Литература

  • Остроградский М. В., Note sur les integrales definies. Mem. 1'Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В., Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. Mem. 1'Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838)

ca:Teorema de la divergència cs:Gaussova věta he:משפט גאוס lmo:Teurema da la divergenza nl:Divergentiestelling pl:Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa sk:Gaussova veta sv:Gauss sats vi:Định lý Gauss

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.