Математика
Advertisement

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей - это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

Определения

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство .

Дискретные случайные величины

Пусть и - случайные величины, такие что случайный вектор имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности . Пусть такой, что . Тогда функция

,

где - функция вероятности случайной величины , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Пусть и - случайные величины, такие что случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности . Пусть таково, что , где - плотность случайной величины . Тогда функция

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины при условии, что . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределений

  • Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
  • ,
  • ,

и

  • ,
  • .
  • Если случайные величины и независимы, то условное распределение равно безусловному:

или

почти всюду на .

Условные вероятности

Дискретные случайные величины

Если - счётное подмножество , то

.

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если - борелевское подмножество , то полагаем по определению

.

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как .

Условные математические ожидания

Дискретные случайные величины

.
  • Условное математическое ожидание при условии случайной величины - это третья случайная величина , задаваемая равенством
.

Абсолютно непрерывные случайные величины

  • Условное математическое ожидание случайной величины при условии получается интегрированием относительно условного распределения:
.
  • Условное математическое ожидание при условии случайной величины - это третья случайная величина , задаваемая равенством
.
Advertisement