Математика
Advertisement

Усло́вное математи́ческое ожида́ние в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.

Определения

Будем считать, что дано вероятностное пространство . Пусть - интегрируемая случайная величина, то есть . Пусть также - под-σ-алгебра σ-алгебры .

УМО относительно σ-алгебры

Случайная величина называется условным математическим ожиданием относительно σ-алгебры , если

где - индикатор события . Условное математическое ожидание обозначается .

Пример. Пусть Положим . Тогда - σ-алгебра, и . Пусть случайная величина имеет вид

.

Тогда

УМО относительно семейства событий

Пусть - произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется

,

где - минимальная сигма-алгебра, содержащая .

Пример. Пусть Пусть также . Тогда . Пусть случайная величина имеет вид

.

Тогда

УМО относительно случайной величины

Пусть другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием относительно называется

,

где - σ-алгебра, порождённая случайной величиной .

Условная вероятность

Пусть - произвольное событие, и - его индикатор. Тогда условной вероятностью относительно называется

.

Замечания

  • Условное математическое ожидание - это случайная величина, а не число!
  • Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если и -почти всюду, то . Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
  • Взяв , получаем по определению:
,

и в частности справедлива формула полной вероятности:

.
.

В частности формула полной вероятности принимает классический вид:

,

а следовательно

.

Основные свойства

.

Условное математическое ожидание относительно события по определению равно

.
п.н.

В частности, если независимые случайные величины, то

п.н.
  • Если - две σ-алгебры, такие что , то
.
  • Если - -измерима, и - случайная величина, такая что , то
.

Дополнительные свойства

УМО для дискретных величин

Пусть - дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности . Тогда система событий является разбиением , и

,

а

,

где означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности .

Если случайная величина также дискретна, то

,

где - условная функция вероятности случайной величины относительно .

УМО для абсолютно непрерывных случайных величин

Пусть - случайные величины, такие что вектор абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности . Введём условную плотность , положив по определению

,

где - плотность вероятности случайной величины . Тогда

,

где функция имеет вид

.

В частности,

.

УМО в L2

Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом . В нём определены скалярное произведение

,

и порождённая им норма

.

Множество всех случайных величин с конечным вторым моментом и измеримых относительно , где , является подпространством . Тогда оператор , задаваемый равенством

,

является оператором ортогонального проектирования на . В частности:

  • Условное математическое ожидание - это наилучшее средне-квадратичное приближение -измеримыми случайными величинами:
.
  • Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
.
.

См. также


Эта статья содержит материал из статьи Условное математическое ожидание русской Википедии.

Advertisement