Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

Определения

Пусть дано частично упорядоченное множество и его подмножество Тогда элемент называется точной верхней гранью или супре́мумом , если он является наименьшей верхней гранью то есть

Аналогично элемент называется точной нижней гранью или инфимумом , если он является наибольшей нижней гранью то есть

Пишут:

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежат ли и множеству или нет. Если то говорят, что является наибольшим элементом или максимумом Если то говорят, что является наименьшим элементом или минимумом

Примеры

  • На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум.
  • Для множества
; .
  • Множество положительных действительных чисел не имеет точной верхней грани в , точная нижняя грань .
  • Множество рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
и .

Свойства

  • Для любого ограниченного сверху подмножества , существует .
  • Для любого ограниченного снизу подмножества , существует .
  • Вешественное число , является тогда и только тогда, когда есть верхняя грань т.е. для всех элементов , .
  • для любого найдётся , такой, что (т.е. к можно сколь угодно «близко подобраться» из множества )
  • Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.