Экстремум

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция $f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ и $x_0 \in M^0$ - внутренняя точка области определения $f.$ Тогда

• $x_0$ называется точкой локального максимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что

  $\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);$

• $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f,$ если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что

  $\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).$

Если неравенства выше строгие, то $x_0$ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• $x_0$ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);$

• $x_0$ называется точкой абсолютного минимума, если

  $\forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).$

Значение функции $f(x_0)$ называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точка (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция $f,$ определённая на множестве $M,$ может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, $f(x) = x,\; x\in (-1,1).$

Необходимые признаки существования локальных экстремумов

• (Лемма Ферма.) Пусть функция $f\in \mathcal{D}(x_0)$ дифференцируема в точке локального экстремума $x_0.$ Тогда

  $f'(x_0) = 0.$

Достаточные признаки существования локальных экстремумов

• Пусть функция $f\in C(x_0)$ непрерывна в $x_0\in M^0,$ и существуют конечные или бесконечные односторонние производные

$f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0.$

Тогда $x_0$ является точкой строгого локального максимума. Если

$f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,$

то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Супремум/Инфимум

cy:Uchafbwyntiau ac isafbwyntiau he:נקודת קיצון uk:Екстремум