Шаблон:Изолированная статья

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

,   ,

заданной уравнением

,   

и значение фиксированно.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Если функция

тогда найдётся такой двумерный промежуток , являющийся окрестностью точки , и такая непрерывная функция , что для любой точки

Теорема о неявной функции/рамка

Обычно дополнительно предполагается что функция непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотнности следует из того что , здесь обозначает частную производную по . Более того, в этом случае, производная функции может быть вычислена по формуле

Многомерный случай

Пусть и суть - и -мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно и . Пусть отображает некоторую окрестность точки в пространство и — координатные функции (от переменных ) отображения , т. е. .

Если отображение дифференцируемо на , , а якобиан отображения не равен нулю в то существуют окрестности и точек и соответственно в пространствах и , и единственное отображение такие, что для всех выполняется условие .

При этом . Более того, отображение дифференцируемо на .

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
  • Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
  • Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.


he:משפט הפונקציות הסתומות hu:Implicitfüggvény-tétel

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.