Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с мерами $(X_{i},{\mathcal {F}}_{i},\mu _{i}),\;i=1,2$. Обозначим $(X_{1}\times X_{2},{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\mu _{1}\otimes \mu _{2})$ их произведение. Пусть функция $f:X_{1}\times X_{2}\to \mathbb {R}$ интегрируема относительно меры $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$. Тогда

• функция $x_{1}\to \int \limits _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu _{2}(dx_{2})$ определена и интегрируема относительно $\mu _{1}$;
• функция $x_{2}\to \int \limits _{X_{1}}f(x_{1},x_{2})\,\mu _{1}(dx_{1})$ определена и интегрируема относительно $\mu _{2}$;
• имеют место равенства

$\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}(dx_{1}\,dx_{2})=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\int \limits _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu _{2}(dx_{2})\right]\mu _{1}(dx_{1})$

и

$\iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}(dx_{1}\,dx_{2})=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\int \limits _{X_{1}}f(x_{1},x_{2})\,\mu _{1}(dx_{1})\right]\mu _{2}(dx_{2})$.

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть $(\Omega _{i},{\mathcal {F}}_{i},\mathbb {P} _{i}),\,i=1,2$ - вероятностные пространства, и $X:\Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R}$ - случайная величина на $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})$. Тогда

$\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right]$,

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть $f:D=[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a,b]\times [c,d]$, то есть $f\in {R}(D)$. Тогда

$\iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int \limits _{c}^{d}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy$,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

См. также

• Произведение мер;
• Тонелли, Леониде;
• Фубини, Гвидо.