Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p−1 класса C1 (). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то

где dω обозначает внешнюю производную формы ω.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C1 — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде

Формула Грина

Пусть Mплоскость, а D — её некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y, — это выражение f1dx+f2dy, и для интеграла этой формы по границе области D верно

Формула Стокса (в узком смысле), или формула Кельвина-Стокса

Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ∂Σ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:

или в координатной записи

Формула Остроградского

Пусть теперь ∂V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p = n−1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равна потоку поля через границу области ∂V:

Литература

См. также


ca:Teorema de Stokes cs:Stokesova věta he:משפט סטוקס lmo:Teurema da Stokes pl:Twierdzenie Stokesa sv:Stokes sats

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.