Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.
Общая формулировка[]
Пусть на ориентируемом многообразии M размерности n заданы ориентируемое p-мерное подмногообразие σ и дифференциальная форма ω степени p−1 класса C1 (). Тогда если граница подмногообразия ∂σ положительно ориентирована, то
где dω обозначает внешнюю производную формы ω.
Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия M.
Частные случаи[]
Формула Ньютона — Лейбница[]
Пусть дана кривая l, соединяющая две точки a и b (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма ω нулевой степени класса C1 — это дифференцируемая функция f. Формула Стокса тогда записывается в виде
Формула Грина[]
Пусть M — плоскость, а D — её некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах x и y, — это выражение f1dx+f2dy, и для интеграла этой формы по границе области D верно
Формула Стокса (в узком смысле), или формула Кельвина-Стокса[]
Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ∂Σ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:
или в координатной записи
Формула Остроградского[]
Пусть теперь ∂V — кусочно-гладкая гиперповерхность (p = n−1), ограничивающая некоторую область V в n-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равна потоку поля через границу области ∂V:
Литература[]
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1966.
- Арнольд В.И. Математические методы классической механики (djvu)
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971 (djvu)
См. также[]
- Векторный анализ
- Дифференциальная форма
- Формулы векторного анализа
- Дифференциальная геометрия и топология
ca:Teorema de Stokes cs:Stokesova věta he:משפט סטוקס lmo:Teurema da Stokes pl:Twierdzenie Stokesa sv:Stokes sats