Теорема Пифагора

Теорема Пифагора— одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Доказательство

Известно, что существует около 350 доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство, основанное на теореме существования площади фигуры:

Пошаговая иллюстрация доказательства

1. Расположим четыре прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырехугольник со сторонами с является квадратом, так как сумма двух острых углов $90^\circ$, а развернутый угол — $180^{\circ}$.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны - сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

$(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;$

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}$

$c^2=a^2+b^2;\frac{}{}$

Что и требовалось доказать.

Обобщения

В случае ортогональной системы векторов $\{v_k\}\frac{}{}$ имеет место равенство, также называемое теоремой Пифагора:

$\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.$

Если $\{v_k\}\frac{}{}$ — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида — и означает, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы вектров носит название равенства Парсеваля.

См. также

• Пифагорова тройка
• Пифагоровы штаны
• Великая теорема 

Ссылки

• Некоторые доказательства теоремы Пифагора
• Теорема Пифагора на WolframMathWorld (английский)

Эта статья содержит материал из статьи Теорема Пифагора русской Википедии.