Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть и Пусть

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции соответственно. Тогда и существуют такие, что

Замечания

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

  • Пусть функция полунепрерывна снизу. Тогда
    и

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство и компактное подмножество Пусть дана непрерывная функция Тогда

и

См. также


Эта статья содержит материал из статьи Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.