Те́нзор — объект линейной алгебры, а над деле - полная хуйня. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы и билинейные формы. Изучением тензоров занимается тензорное исчисление.

Часто тензор представляют как многомерную таблицу (число сомножителей совпадает с валентностью тензора, а их величина — с размерностью основного пространства), заполненной числами (компонентами тензора). Такое представление возможно только после выбора базиса (или системы координат), при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом, при этом сам тензор от выбора базиса не зависит (это можно увидеть уже на примере вектора).

Определения

Современное определение

Тензор ранга над -мерным векторным пространством есть элемент тензорного произведения пространств и сопряжённых пространств (то есть пространств линейных функционалов (1-форм) на )

Сумма чисел называется валентностью тензора. Тензор ранга также называется раз ковариантным и раз контравариантным.

Тензор как полилинейная функция

Точно так же как ковариантный тензор ранга (1,0) можно представлять как линейный функционал, тензор ранга удобно представлять себе как функцию от n векторных аргументов , которая линейна по каждому аргументу (такие функции называются полилинейными), т. е. для любой константы c из поля F (над которым определено векторное пространство)


Компоненты тензора

Выберем в пространстве V базис , и соответственно дуальный базис в сопряженном пространстве (то есть , где символ Кронекера). Тогда в тензорном произведении пространств естественным образом возникает базис

,
.

Если определить тензор как полилинейную функцию, то его компоненты определяются значениями этой функции на базисе :

,
.

После этого тензор можно записать как линейную комбинацию базисных тензорных произведений:

.

Нижние индексы компонент тензора называются ковариантными, а верхние - контравариантными. Например, разложение некоторого дважды ковариантного тензора h будет таким:

О классическом определении

Классический подход к определению тензора, более распространённый в физической литературе, начинает с представления тензоров в компонентах. Тензор определяется как геометрический объект, который описывается многомерным массивом. Вектор задается одномерным массивом, а такие объекты как линейный оператор и квадратичная форма — двумерной матрицей. Примером тензора с четырехмерным массивом является тензор кривизны Римана. Скаляры можно рассматривать как нульмерные массивы с единственным элементом.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность, от них не зависит. Под геометрической сущностью можно понимать много вещей, можно и не понимать. Например, всем похуй.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определенному (линейному) закону. Таким образом, я пристрастился к тензорному произведению.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.