Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе , теории вероятностей и смежных дисциплинах - это вид сходимости измеримых функций (случайных величин ), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве ).
Определение [ ]
Пусть
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
- пространство с мерой. Пусть
f
n
,
f
:
X
→
R
m
,
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots}
- измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций
{
f
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{ f_n \}_{n=1}^\infty}
сходится по мере к функции
f
{\displaystyle f}
, если
∀
ε
>
0
,
lim
n
→
∞
μ
(
{
x
∈
X
∣
‖
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
‖
>
ε
}
)
=
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0 }
.
Обозначение:
f
n
→
μ
f
{\displaystyle f_n \to^{\!\!\!\!\!\! \mu} f}
.
В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})}
с определёнными на нём случайными величинами
X
n
,
X
,
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle X_n,X,\; n=1,2,\ldots}
, то говорят, что
{
X
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{ X_n \}_{n=1}^\infty}
сходится по вероятности к
X
{\displaystyle X}
, если
∀
ε
>
0
,
lim
n
→
∞
P
(
|
X
n
−
X
|
>
ε
)
=
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0}
.
Обозначение:
X
n
→
P
X
{\displaystyle X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X}
.
Замечание [ ]
Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов ), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве .
Свойства сходимости по мере [ ]
Если последовательность функций
f
n
{\displaystyle f_n}
сходится по мере к
f
{\displaystyle f}
, то у неё существует подпоследовательность
f
n
k
{\displaystyle f_{n_k}}
, сходящаяся к
f
{\displaystyle f}
μ
{\displaystyle \mu}
-почти всюду .
Если последовательность функций
f
n
{\displaystyle f_n}
сходится по мере к
f
{\displaystyle f}
, и
∀
n
∈
N
,
|
f
n
|
≤
g
{\displaystyle \forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \le g}
, где
g
∈
L
p
,
p
≥
1
{\displaystyle g \in L^p,\; p \ge 1}
, то
f
n
,
f
∈
L
p
{\displaystyle f_n, f \in L^p}
, и
f
n
{\displaystyle f_n}
сходится к
f
{\displaystyle f}
в
L
p
{\displaystyle L^p}
.
Если последовательность функций
f
n
{\displaystyle f_n}
сходится
μ
{\displaystyle \mu}
-почти всюду к
f
{\displaystyle f}
, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
Если последовательность функций
f
n
{\displaystyle f_n}
сходится в
L
p
{\displaystyle L^p}
к
f
{\displaystyle f}
, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
Если последовательность случайных величин
X
n
{\displaystyle X_n}
сходится по вероятности к
X
{\displaystyle X}
, то она сходится к
X
{\displaystyle X}
и по распределению .
Эта статья содержит материал из статьи Сходимость по мере русской Википедии.