Свёртка фу́нкций в функциональном анализе — это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер.

Свёртка функций

Пусть — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

.

Свойства

.
.
;
  • Ассоциативность умножения на скаляр:
.
  • Правило дифференцирования:
,

где обозначает производную функции .

  • Свойство Фурье-образа:
,

где обозначает преобразование Фурье функции .

Свёртка на группах

Пусть группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

,

где обозначает произведение мер и .

Cвойства

.

Тогда также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима имеет вид

.

Свёртка распределений

Если распределения двух независимых случайных величин и , то

,

где — распределение суммы . В частности, если абсолютно непрерывны и имеют плотности , то случайная величина также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

.

Ссылки

Эта статья содержит материал из статьи Свёртка (математический анализ) русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.