Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Определение

Классическое определение.

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида

или, более сжато

(1)

Постоянные числа , и () называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , так как и являются периодическими функциями с периодом .

Общее определение

Пусть в Гильбертовом пространстве даны ортогональная система и — произвольный элемент из . Последовательность чисел

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента по системе , а ряд

называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе .

Справедливо т. н. неравенство Бесселя:

Если выполнено равенство Парсеваля

,

то нормированная система называется замкнутой.

Справедливо утверждение: в сепарабельном евклидовом пространстве всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой и наоборот.

Сходимость ряда Фурье

Теорема: Шаблон:Начало цитаты Если периодическая функция с периодом  — кусочно-монотонная[1] и ограниченная на отрезке , то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках ее непрерывности. В точках разрыва сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева. Шаблон:Конец цитаты

Из этой теоремы следует, что тригонометрические ряды Фурье применимы к достаточно широкому классу функций.

См. также

Примечания

  1. Функция называется кусочно-монотонной на определенном отрезке, если этот отрезок может быть разбит на конечное число интервалов так, что на каждом интервале функция будет неубывающей, либо невозрастающей (то есть монотонной).

Литература

  • Рудин У. Основы математического анализа 1976
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интергальное исчисления для ВТУЗов, т. 2. М., «Наука», 1964.


ar:متسلسلة فوريي ca:Sèrie de Fourier cs:Fourierova řada da:Fourierrække fa:سری فوریه gl:Serie de Fourier he:טור פורייה hu:Fourier-sor lt:Furjė eilutė nl:Fourierreeks pl:Szereg Fouriera sk:Fourierov rad sv:Fourier-serie th:อนุกรมฟูริเยร์ vi:Chuỗi Fourier

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.