Расширенная числовая прямая (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть

Бесконечности и , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства

Cледует отличать расширенную числовую прямую от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью . Такая система называется проективной прямой, и обозначается

Мотивировка

При формулировке многих теорем и определений математического анализа приходится отдельно рассматривать случаи «конечного» и «бесконечного». Например, отдельно формулируются понятия сходящейся последовательности

и последовательности, предел которой равен :

Отдельно формулируются понятия предела функции при

и предела при :

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x) = A \quad \overset {\mathrm{def}}{\iff} \quad \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x (x >  \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon) }

Эти соображения наводят на мысль рассматривать бесконечности и как равноправные члены системы , наряду с конечными числами. Благодаря этому достигается единообразие в формулировках и доказательствах теорем математического анализа.

Упорядоченность

См. также основную статью: Частично упорядоченное множество

Множество вещественных чисел линейно упорядоченно по отношению . Однако в нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то ее расширение до системы как раз состоит в добавлении максимального () и минимального () элементов. Благодаря этому, в системе всякой непустое множество имеет точную верхную грань (конечную, если множество ограничено сверху, и , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов и .

Топология расширенной числовой прямой

См. также основную статью: Топологическое пространство

Открытые множества и окрестности

Отношение порядка порождает топологию на . В топологии открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (\alpha,\beta) = \{x \in \overline{\mathbb{R}} \colon \alpha < x < \beta\}, \quad  (\alpha, +\infty] = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x > \alpha\}, \quad  [-\infty, \beta) = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} \colon x < \beta\}, }

где . Окрестностью точки называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии , всякая окрестность точки включает один из интервалов указанного вида, содержащий . В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие -окрестности точки расширенной числовой прямой (). В случае , то есть когда является числом, -окрестностью называется множество

Если же , то

а если , то

Понятие -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа соответствующие окрестности уменьшаются: .

Пределы

В все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела). Пусть , где . В частности может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть

Компактность

компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел может рассматриваться как двухточечная компактификация . При этом оказывается гомеоформным отрезку . Этот факт имеет наглядное геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм задается формулой

Примечания

Шаблон:Примечания

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.