Равномерная сходимость последовательности функций (отображений) — свойство последовательности , где — произвольное множество, метрическое пространство, , к функции (отображению) , означающее, что для любого существует такой номер , что для всех номеров и всех точек выполняется неравенство

Обычно обозначается .

Это условие равносильно тому, что

Пример

  • Последовательность , равномерно сходится на любом отрезке , и не сходится равномерно на отрезке .

Свойства

  • Если линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , равномерно сходятся на множестве , то последовательности также как и при любых также равномерно сходятся на .
  • Для вещественно-значных функций (или, более общо, если линейное нормированное кольцо), последовательность отображений , равномерно сходится на множестве и ограниченное отображение, то последовательность также равномерно сходится на .
  • Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций равномерно сходится на отрезке к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство
        
    и сходимость последовательности функций
        
    на отрезке к функции
        
    равномерна.
  • Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке функций , сходится в некоторой точке , a последовательность их производных равномерно сходится на , то последовательность также равномерно сходится на , её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

Литература

  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
  • Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.

he:התכנסות במידה שווה pl:Zbieżność jednostajna

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.