Математика
Advertisement

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

Определение

  1. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
  • Производная функции в точке обозначается символами

Дифференцируемость

См. также основную статью: Дифференцируемая функция

Производная функции в точке , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в функции в окрестности справедливо представление

Замечания

  • Назовём приращением аргумента функции, а приращением значения функции в точке Тогда
  • Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция
  • Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
  • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

См. также основную статью: Касательная прямая

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть — закон прямолинейного движения. Тогда выражает мгновенную скорость движения в момент времени Вторая производная выражает мгновенное ускорение в момент времени

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция  дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

Производные высших порядков обозначаются символами:

Когда мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

etc.

Примеры

  • Пусть Тогда
  • Пусть Тогда если то

где обозначает функцию знака. Если то а следовательно не существует.

См. также

Литература


Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.

Advertisement