ФЭНДОМ


Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

Производная (геом)

Производная как тангенс угла a и отношение приращения функции к приращению аргумента

Определение Править

  1. Пусть в некоторой окрестности точки $ x_0 \in \mathbb{R} $ определена функция $ f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}. $ Производной функции $ f $ в точке $ x_0 $ называется предел, если он существует,
$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. $
  • Производная функции в точке $ x_0 $ обозначается символами
$ f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0). $

Дифференцируемость Править

См. также основную статью: Дифференцируемая функция

Производная $ f'(x_0) $ функции $ f $ в точке $ x_0 $, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $ f $ является дифференцируемой в точке $ x_0 $ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

$ \bigl( f \in \mathcal{D}(x_0) \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists f'(x_0) < \infty\bigr). $

Для дифференцируемой в $ x_0 $ функции $ f $ в окрестности $ U(x_0) $ справедливо представление

$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0) $

Замечания Править

  • Назовём $ \Delta x = x - x_0 $ приращением аргумента функции, а $ \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) $ приращением значения функции в точке $ x_0. $ Тогда
    $ f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. $
  • Пусть функция $ f:(a,b) \to \mathbb{R} $ имеет конечную производную в каждой точке $ x_0 \in (a,b). $ Тогда определена произво́дная фу́нкция
    $ f':(a,b) \to \mathbb{R}. $
  • Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратно, вообще говоря, неверно.
  • Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $ f $ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $ f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr). $

Геометрический и физический смысл производной Править

Тангенс угла наклона касательной прямой Править

См. также основную статью: Касательная прямая

Если функция $ f:U(x_0) \to \mathbb{R} $ имеет конечную производную в точке$ x_0, $ то в окрестности $ U(x_0) $ её можно приблизить линейной функцией

$ f_l(x) = f_(x_0) + f'(x_0)(x-x_0). $

Функция $ f_l $ называется касательной к $ f $ в точке $ x_0. $ Число $ f'(x_0) $ является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции Править

Пусть $ s=s(t) $ — закон прямолинейного движения. Тогда $ v(t_0)=s'(t_0) $ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $ t_0. $ Вторая производная $ a(t_0) = s''(t_0) $ выражает мгновенное ускорение в момент времени $ t_0. $

Вообще производная функции $ y=f(x) $ в точке $ x_0 $ выражает скорость изменения функции в точке $ x_0 $, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $ y=f(x). $

Производные высших порядков Править

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

$ f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0). $

Если функция $ f $ дифференцируема в $ x_0 $, то производная первого порядка определяется соотношением

$ f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0). $

Пусть теперь производная $ n $-го порядка $ f^{(n)} $ определена в некоторой окрестности точки $ x_0 $ и дифференцируема. Тогда

$ f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0). $

Производные высших порядков обозначаются символами:

$ f^{(n)}(x_0) = \mathrm{D}^nf(x_0) = \frac{d^nf(x_0)}{dx^n}. $

Когда $ n $ мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

$ f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x) = \dot{f}(x_0),\; f^{(2)}(x_0) = f''(x_0) = f^{II}(x) = \ddot{f}(x_0),\; f^{(3)}(x_0) = f'''(x_0) = f^{III}(x), $ etc.

Примеры Править

  • Пусть $ f(x) = x^2. $ Тогда
$ f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0. $
  • Пусть $ f(x) = |x|. $ Тогда если $ x_0 \neq 0, $ то
$ f'(x_0) = \operatorname{sgn} x_0, $

где $ \operatorname{sgn} $ обозначает функцию знака. Если $ x_0 = 0, $ то $ f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1, $ а следовательно $ f'(x_0) $ не существует.

См. также Править

Литература Править


Эта статья содержит материал из статьи Производная функции русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.