Признак сходимости Д’Аламбера

Признак Д’Аламбера — признак сходимости числовых рядов:

Если для числового ряда $\sum_{n=0}^\infty a_n$ существует такое число $q$, $0<q<1$, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q,$ то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1,$ то ряд расходится. Признак сходимости Д’Аламбера/рамка В частности, если существует предел $\rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,$ то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho <1$, а если $\rho >1$ — расходится (признак сходимости Д’Аламбера в предельной форме). Примеры 1. Ряд абсолютно сходится для всех комплексных $z$, так как $\lim \left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim {\frac {|z|}{n+1}}=0,$ 2. Ряд $\sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}$ расходится при всех $z\not =0$, так как $\lim \left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim |(n+1)z|=\infty .$ 3. Если $\rho =1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}$     и     $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится. История Признак установлен Жаном Д’Аламбером в 1768 г. ca:Criteri d'Alembert