Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия:

Тогда ряд сходится. Признак Дирихле/рамка

  • Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • Легко убедится, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

    сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.
  • Оценка остатка ряда Абелева типа
    Рассмотрим ряд и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: .

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

Тогда сходится. Признак Дирихле/рамка

  • Очевидно, что вместо второго условия можно также записать
  • Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

    Однако, условие монотонности не является необходимым.
    — сходится.
  • Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.