Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция имеет предел в точке если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Определения

  • (окрестностное определение) Пусть дана функция и — предельная точка множества Число называется пределом функции при стремящемся к , если для любой окрестности точки существует проколотая окрестность точки такая, что
  • (определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции при стремящемся к тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем
при

Замечания

  • Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.
  • Если предел функции при существует и равен , пишут

Предел вдоль фильтра

Определение фильтра

См. также основную статью: Фильтр (математика)

Пусть дано множество Система множеств называется фильтром на , если

  • такой, что

Определение предела

Пусть и — фильтр на Число является пределом функции по фильтру если

Пишут:

Примеры

Обычный предел

Пусть дано топологическое пространство , и Пусть Тогда система множеств

является фильтром и обозначается Данное выше определение предела совпадает с пределом по фильтру

Односторонние пределы

См. также основную статью: Односторонние пределы
  • Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается или Предел называется правосторонним пределом функции при стремящемся к

  • Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается или Предел называется левосторонним пределом функции при стремящемся к

Пределы на бесконечности

См. также основную статью: Пределы функции на бесконечности
  • Пусть и Тогда система множеств
называется пределом функции при стремящемся к бесконечности.
  • Пусть и Тогда система множеств

является фильтром и обозначается Предел называется пределом функции при стремящемся к минус-бесконечности.

Предел последовательности

См. также основную статью: Предел последовательности

Система множеств где

является фильтром и обозначается Функция называется числовой последовательностью, а предел пределом этой последовательности.

Интеграл Римана

См. также основную статью: Интеграл Римана

Пусть Назовём размеченным разбиением отрезка коллекцию точек Назовём диаметром разбиения число Тогда система множеств

является фильтром в пространстве всех размеченных разбиений Определим функцию равенством

Тогда предел называется интегралом Римана функции на отрезке

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции и Тогда

  • Предел единственнен, то есть
  • Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где - проколотая окрестность точки .

  • В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
  • Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
  • Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
  • Предел суммы равен сумме пределов:
  • Предел разности равен разности пределов:
  • Предел произведения равен произведению пределов:
  • Предел частного равен частному пределов.

См. также

Эта статья содержит материал из статьи Предел функции русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.