Покрытие

Покры́тие в математике — это семейство множеств таких, что их объединение содержит заданное множество. Обычно понятие покрытия рассматривается в контексте общей топологии.

Определения[]

Пусть дано множество $X$ . Семейство множеств $C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ называется покрытием $X$ , если

X \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ , где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Тогда семейство открытых множеств $C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathcal{T}$ называется открытым покрытием $Y \subset X$ , если

Y \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.

Связанные определения[]

Если $C$ — покрытие множества $Y$ , то любое подмножество $D \subset C$ , также являющееся покрытием $Y$ , называется подпокры́тием.
Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытия впи́сано во второе. Более точно, покрытие $D = \{V_{\beta}\}_{\beta \in B}$ вписано в покрытие $C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ , если

\forall \beta \in B\; \exists \alpha \in A

такое, что

V_{\beta} \subset U_{\alpha}.

Покрытие $C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ множества $Y$ называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки $y \in Y$ существует окрестность $U \ni y$ , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов $C$ , то есть множество $\{\alpha \in A \mid U_{\alpha} \cap U \not= \emptyset \}$ конечно.
$Y$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
$Y$ называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.