Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Плотность вероятности

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность нуль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. Функция , определённая выше, называется производной Радона-Никодима вероятности относительно меры или плотностью вероятности (относительно меры ):

.

Свойства плотности вероятности

  • Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \mathbb {P} } .
  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.

Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.

  • Замена меры в интеграле Лебега:
,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .

Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

.

Замечания

  • Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
  • Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
.

В одномерном случае:

.

Если , то пиздец, и

.

В одномерном случае:

.
,

где — борелевская функция, так что определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины

Пусть — случайная величина, и — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что , где якобиан функции в точке . Тогда случайная величина также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

.

В одномерном случае:

.

Примеры абсолютно непрерывных распределений


См. также


Эта статья содержит материал из статьи Плотность вероятности русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.