Файл:TwoPlanes.png

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве

Пло́скость – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается у А.К.Клеро (1731), уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816-1818), нормальное уравнение ввёл Л.О.Гессе (1861).

Некоторые характеристические свойства плоскости

  • П. есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую соединяющую любые её точки;
  • П. есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Уравнения плоскоcти

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1-й степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
(1)

где и - постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где - радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении П. равен нулю уравнение наз. неполным. При П. проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответствённо или ). При (, или ) П. параллельна плоскости (соответственно или ).

  • Уравнение плоскости в отрезках:

где - отрезки, отсекаемые П. на осях и .

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

в векторной форме:

  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
(2)

в векторной форме:

где - единичный вектор, - расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

  • Отклонение точки от плоскости

,если и начало координат лежат по разные стoроны П., в противоположном случае . Расстояние от точки до П. равно

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

или
  • Плоскости перпендикулярны, если
или .
  • Пучок плоскостей – уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плокостей

где и - любые числа, не равные одновременно нулю.

af:Vlak ast:Planu (xeometría) bg:Равнина (математика) ca:Pla chr:ᎭᏫᎾᏗᏢ ᏗᏎᏍᏗ ᎤᎬᏩᎵ cs:Rovina da:Plan (matematik) et:Tasand he:מישור (גאומטריה) io:Plano nds:Flach (Mathematik) nl:Vlak pl:Płaszczyzna qu:P'allta simple:Plane (mathematics) sk:Rovina (geometria) sl:Ravnina sr:Раван sv:Plan

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.