В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называюых; таких как (x³ / 3) + 0 или (x³ / 3) + 7 или (x³ / 3) − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = (x³ / 3) + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f иногда называют общим интегралом или неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке,если для всех Х из этого промежутка

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x sin (1/x) — cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x² sin(1/x) с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.

Свойства первообразной

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
  • Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность .
  • Необходимыми условиями являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу.
  • У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.


Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого в нашем распоряжении имеется несколько методов:

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной и выполнения всюду равенства , иногда в определении используют обобщения производной.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.