Математика
Advertisement

Ортогональное преобразованиелинейное преобразование евклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов.

Свойства

  • Ортогональные преобразования и только они переводят ортонормированный базис в ортонормированный.
  • Необходимым и достаточным условием ортогональности является также равенство , где сопряженное, а — обратное линейные преобразования.
  • В ортонормированном базисе ортогональные преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы.
  • Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю , а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
  • Определитель ортогонального преобразования равен (собственное ортогональное преобразование) или (несобственное ортогональное преобразование).
  • В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
  • Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композицииортогональную группу данного евклидова пространства.
    • Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу). giochi casino

Размерность два

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом, и его матрица в ортонормированном базисе имеет вид

где — угол поворота, а всякое несобственное ортогональное преобразование является отражением относительно некоторой прямой, его матрица в подходящем ортонормированном базисе имеет вид

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Advertisement