Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Обозначения

  •  — нижний предел.
  •  — верхний предел.
  •  — подынтегральная функция.
  •  — длина частичного отрезка.
  •  — интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .
  •  — максимальная длина част. отрезка.

Свойства

Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Формула Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной:

Если непрерывна на отрезке и  — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство:

См. также

Шаблон:Rq

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.