Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что отображение.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

  • Функциональный анализ: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).
  • Линейная алгебра: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).
  • Дискретная математика: Преобразование последовательностей (свертки дискретных сигналов, медианный фильтр и т. п.).

Основная терминология

Пусть оператор действует из множества в множество .

Простые примеры

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции x(t) согласно правилу A в другую функцию y(t) выглядит: y(t) = A{x(t)} или, проще, y = Ax. Примерами подобных преобразований могут быть, например, домножение на число: y(t) = cx(t), дифференцирование: y(t) = и т. д. Получаем операторы дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Определяя оператор, мы рассматривали только преобразование функции x(t) в другую функцию y того же аргумента t. Такое сохранение аргумента при определении оператора вовсе не является обязательным: оператор может преобразовывать функцию одного аргумента в функцию другого аргумента, например:

или Преобразование Фурье из временной в частотную область:

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции y, вообще говоря, в каждой точке t зависит не только от x(t), а от значений функции x во всех точках t. Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке меняется при изменении исходной функции в любой точке .

Еще в качестве примера оператора можно привести операцию умножения вектора длины на матрицу размером . Этот оператор отображает -мерное пространство векторов в -мерное.

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свертки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным.

Линейные операторы

См. также основную статью Линейное отображение.

Оператор L (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

1) может применяться почленно к сумме аргументов:

;

2) скаляр (постоянную величину) с можно выносить за знак оператора:

;

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) = 0.

Примеры линейных однородных операторов:

  • оператор дифференцирования: = y(t) = ;
  • оператор интегрирования: y(t) = ;
  • оператор умножения на определённую функцию φ(t): y(t) = φ(t)x(t);
  • оператор интегрирования с заданным «весом» φ(t): y(t) =
  • оператор взятия значения функции в конкретной точке : ;
  • оператор умножения вектора на матрицу: .

Оператор L называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

L{x} = L0{x} + φ,

где L0 — линейный однородный оператор. Примеры линейных неоднородных операторов:

где φ(t), φ1(t), φ2(t) — вполне определённые функции, а x(t) — преобразуемая оператором функция.


В случае преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) линейные операторы характеризуются тем, что для них yk являются линейными функциями от xk:

yk = .

Коэффициенты Tkl образуют матрицу. Если {yk} рассматривают как векторы, то оператор называется тензором. В этом случае пишут .

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных K(t, ω), и называется ядром линейного интегрального преобразования:

φ(t) = = Kf(ω).

Функция-операнд f(ω) в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда f(ω) заменяется вектором W. В этом случае φ(t) представимо (бес~)конечным рядом функций:

φ(t) = .

Единичный оператор

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

Ea = a,

то есть как матричный оператор определяется равенством

и как интегральный оператор — равенством

.

Единичная матрица Eik записывается большей частью с помощью символа δik = δki (символ Кронекера). Имеем: δik = 1 при i = k и δik = 0 при ik.

Единичное ядро E(x,t) записывается в виде δ(xt) = δ(tx) (дельта-функция). δ(xt) = 0 всюду, кроме x = t, где функция становится бесконечной и притом такой, что

.

Запись

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
Q(x1, x2,…,xn);
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
(x1, x2,…,xn) Q;
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
x1 Q x2
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор Q над функцией f обычно для краткости записывается Qf вместо Q(f); скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением Q(fg). Q, действующий на f(x), также записывают (Qf)(x). Для обозначения некоторых операторов вводятся спецзнаки, например, унарные n! (факториал '!', справа от операнда), -n (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции . Возведение в степень nx можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

См. также

Литература

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».


ca:Operador matemàtic he:אופרטור nl:Operator sv:Operator

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.