Оператор набла

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом $\nabla$ (набла) (в Юникоде U+2207, ∇).

Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами ${\partial \over \partial x_{1}},\;{\partial \over \partial x_{2}},\;\ldots ,\;{\partial \over \partial x_{n}}$ в $n$-мерном пространстве.

Для трёхмерного декартового пространства оператор набла определяется следующим образом

$\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}$

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор $\nabla$ на скаляр $\phi$, то получится вектор

$\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}$, который представляет собой градиент функции $\phi$.

Если вектор $\nabla$ скалярно умножить на вектор ${\vec {a}}$, получится скаляр

$\nabla {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}$, то есть дивергенция вектора ${\vec {a}}$.

Если $\nabla$ умножить на ${\vec {a}}$ векторно, то получится ротор вектора ${\vec {a}}$.

Также, произведение $\nabla \nabla =\nabla ^{2}$ есть оператор Лапласа, и обозначается $\Delta$. В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

$\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

$\operatorname {grad} (\phi \psi )=\nabla (\phi \psi )=\psi \nabla \phi +\phi \nabla \psi =\psi \operatorname {grad} \phi +\phi \operatorname {grad} \psi$

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} \phi )=\nabla (\nabla \phi )=(\nabla \nabla )\phi =\Delta \phi$