Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.
Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям:
- , причём только при ;
- для всех (неравенство треугольника);
- для каждого скаляра .
Норма нормированным пространством.
обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называетсяПримеры норм в линейных пространствах
- Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство):
- Нормы функций в пространстве :
Содержание
Топология пространства и норма
Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
Эквивалентность норм
Две нормы
и на пространстве называются эквивалентными, если существует две положительные константы и такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.Операторная норма
Норма оператора - число, которое определяется, как:
- где оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство . —
.
- Свойства операторных норм:
- , причём только при ;
- ;
- ;
- .
Матричная норма
Нормой матрицы называется действительное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
- , причём только при ;
- ;
- ;
- .
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.
Виды матричных норм
- m-норма:
- l-норма:
- Евклидова норма:
- Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов):
ca:Norma (matemàtiques) da:Norm (matematik) he:נורמה (מתמטיקה) nl:Norm (wiskunde) pl:Norma (matematyka) sv:Norm (matematik) ur:امثولہ (ریاضی)