Норма (математика)

Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве $L$ над полем вещественных или комплексных чисел есть функция $p:L\to \mathbb {R}$, удовлетворяющая следующим условиям:

1. $p(x)\geq 0$, причём $~p(x)=0$ только при $~x=0$;
2. $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ для всех $x,y\in L$ (неравенство треугольника);
3. $~p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$ для каждого скаляра $~\alpha$.

Норма $~x$ обычно обозначается $\|x\|$. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

• Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство): $\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i}|x_{i}|^{p}}}$
• Нормы функций в пространстве $C[0,1]$: $\|f(x)\|_{C[0,1]}=\max _{x\in [0,1]}|f(x)|$

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида $B(x,\epsilon )=\{y\mid \|x-y\|<\epsilon \}$. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

Эквивалентность норм

Две нормы $p$ и $q$ на пространстве $L$ называются эквивалентными, если существует две положительные константы $C_{1}$ и $C_{2}$ такие, что для любого $x\in L$ выполняется $C_{1}p(x)\leq q(x)\leq C_{2}p(x)$. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Операторная норма

Норма оператора $A$ - число, которое определяется, как:

$\|A\|=\sup _{\|x\|=1}\|Ax\|$.

где $A$ — оператор, действующий из нормированного пространства $L$ в нормированное пространство $K$.

• Свойства операторных норм:

1. $\|A\|\geq 0$, причём $\|A\|=0$ только при $A=0$;
2. $\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$;
3. $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$;
4. $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$.

Матричная норма

Нормой матрицы $A$ называется действительное число $\|A\|$, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. $\|A\|\geq 0$, причём $\|A\|=0$ только при $A=0$;
2. $\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$;
3. $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$;
4. $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Виды матричных норм

1. m-норма: $\|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|$
2. l-норма: $\|A\|_{l}=\max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|$
3. Евклидова норма: $\|A\|_{E}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}$
4. Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов): $\|A\|_{2}=\max _{i}\sigma _{i}(A)$