Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям:

  1. , причём только при ;
  2. для всех (неравенство треугольника);
  3. для каждого скаляра .

Норма обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

  • Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство):
  • Нормы функций в пространстве :

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

Эквивалентность норм

Две нормы и на пространстве называются эквивалентными, если существует две положительные константы и такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Операторная норма

Норма оператора - число, которое определяется, как:

.
где оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .
  • Свойства операторных норм:
  1. , причём только при ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Матричная норма

Нормой матрицы называется действительное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. , причём только при ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Виды матричных норм

  1. m-норма:
  2. l-норма:
  3. Евклидова норма:
  4. Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов):


ca:Norma (matemàtiques) da:Norm (matematik) he:נורמה (מתמטיקה) nl:Norm (wiskunde) pl:Norma (matematyka) sv:Norm (matematik) ur:امثولہ (ریاضی)

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.