ФЭНДОМ


Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве $ L $ над полем вещественных или комплексных чисел есть функция $ p:L \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. $ p(x) \ge 0 $, причём $ ~p(x)=0 $ только при $ ~x=0 $;
  2. $ p(x+y) \le p(x)+p(y) $ для всех $ x, y \in L $ (неравенство треугольника);
  3. $ ~p(\alpha x)=|\alpha|p(x) $ для каждого скаляра $ ~\alpha $.

Норма $ ~x $ обычно обозначается $ \|x\| $. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

  • Гёльдеровы нормы n-мерных векторов (семейство): $ \|x\|_p = \sqrt[p]{\sum_{i} |x_i|^p} $
  • Нормы функций в пространстве $ C[0,1] $: $ \|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)| $

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида $ B(x,\epsilon)=\{y \mid \|x-y\|<\epsilon\} $. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

Эквивалентность норм

Две нормы $ p $ и $ q $ на пространстве $ L $ называются эквивалентными, если существует две положительные константы $ C_1 $ и $ C_2 $ такие, что для любого $ x \in L $ выполняется $ C_1 p(x) \leq q(x) \leq C_2 p(x) $. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Операторная норма

Норма оператора $ A $ - число, которое определяется, как:

$ \|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\| $.
где $ A $оператор, действующий из нормированного пространства $ L $ в нормированное пространство $ K $.
  • Свойства операторных норм:
  1. $ \|A\| \ge 0 $, причём $ \|A\| = 0 $ только при $ A = 0 $;
  2. $ \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\| $;
  3. $ \|A + B\| \le \|A\| + \|B\| $;
  4. $ \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\| $.

Матричная норма

Нормой матрицы $ A $ называется действительное число $ \|A\| $, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

  1. $ \|A\| \ge 0 $, причём $ \|A\| = 0 $ только при $ A = 0 $;
  2. $ \|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\| $;
  3. $ \|A + B\| \le \|A\| + \|B\| $;
  4. $ \|AB\| \le \|A\| \cdot \|B\| $.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Виды матричных норм

  1. m-норма: $ \|A\|_m = \max_i \sum_j |a_{ij}| $
  2. l-норма: $ \|A\|_l = \max_j \sum_i |a_{ij}| $
  3. Евклидова норма: $ \|A\|_E = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2} $
  4. Сингулярная норма (подчинена евклидовой норме векторов): $ \|A\|_2 = \max_i \sigma_i (A) $


ca:Norma (matemàtiques)

da:Norm (matematik)he:נורמה (מתמטיקה)nl:Norm (wiskunde) pl:Norma (matematyka)sv:Norm (matematik) ur:امثولہ (ریاضی)

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.